知行合一是真知，理事不二是至理。
于無(wú)聲處聽(tīng)驚雷，于念起時(shí)觀虛妄。
浮世萬(wàn)千，吾愛(ài)有三，
朝陽(yáng)，明月，
和心中的花。
陽(yáng)光燦爛，月光皎潔，心光照亮一切。
早就收到平臺(tái)開(kāi)通付費(fèi)閱讀的邀請(qǐng)，今天第一次開(kāi)。
創(chuàng)作不易，干貨難得，花一塊糖果錢(qián)犒勞辛苦碼字的作者，先謝謝大家！
適合對(duì)象：數(shù)學(xué)老師、初中學(xué)生和家長(zhǎng)。2.用問(wèn)題串設(shè)置臺(tái)階，讓理解層層深入。4.用問(wèn)題串反復(fù)變式，讓思想潛移默化。1.如何設(shè)計(jì)問(wèn)題串簡(jiǎn)化問(wèn)題揭示本質(zhì)。
2.如何合理搭臺(tái)階引導(dǎo)探究訓(xùn)練思維。3.如何進(jìn)行問(wèn)題變式強(qiáng)化觀念滲透思想。4.幫助學(xué)生（七年級(jí)）深度理解絕對(duì)值問(wèn)題的實(shí)例。5.幫助學(xué)生（七年級(jí)）熟練解決數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的實(shí)例。6.幫助學(xué)生（七年級(jí)）靈活處理一元一次方程問(wèn)題的實(shí)例。7.通過(guò)問(wèn)題實(shí)例幫助學(xué)生形成整體和對(duì)應(yīng)的觀念，掌握轉(zhuǎn)化化歸、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等方法，理解可視化、簡(jiǎn)單化、組塊化、流程化的思維策略，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。
先發(fā)表點(diǎn)感慨：教書(shū)越久越感覺(jué)教學(xué)之難，同時(shí)也越發(fā)現(xiàn)教學(xué)之妙！《顏氏家訓(xùn)》說(shuō)：“上智不教而成，下愚雖教無(wú)益，中庸之人，不教不知也。”現(xiàn)實(shí)中上智者很少，下愚者不多，中庸之人占大多數(shù)。老師最大的用武之地是大多數(shù)中等生，老師可以幫助他們變得更好，上升到優(yōu)秀者的行列。教育教學(xué)是在和人性打交道，而大眾的人性本能是反教育的。有人說(shuō)：當(dāng)學(xué)生意識(shí)到自己是在被教育的時(shí)候，教育由此已經(jīng)失敗了。是啊，誰(shuí)愿意被改變被馴服呢？誰(shuí)愿意離開(kāi)舒適區(qū)對(duì)抗習(xí)慣呢？蓬生麻中，不扶自直－這是創(chuàng)造情境的“潛教育”。激水之疾，至于漂石－這是創(chuàng)造勢(shì)能的“潛教育”。作為老師，要知情、設(shè)境、成勢(shì)、賦能，自然水到渠成。
當(dāng)然要做到很不容易，教育是一個(gè)龐大的系統(tǒng)工程，它既是科學(xué)又是哲學(xué)，既是技術(shù)又是藝術(shù)。為了研究教育，我致力于了解各種與人相關(guān)的知識(shí)，如教育學(xué)、心理學(xué)、行為學(xué)、腦科學(xué)、認(rèn)知學(xué)、哲學(xué)、心學(xué)等。當(dāng)你了解到“人是習(xí)慣的動(dòng)物，是情緒的奴隸”，你還會(huì)糾結(jié)于“講了好多遍學(xué)生還不會(huì)”這個(gè)問(wèn)題嗎？當(dāng)你了解到“學(xué)習(xí)就是認(rèn)知圖式的建構(gòu)”，你還會(huì)為“掰開(kāi)了揉碎了講清了學(xué)生還是沒(méi)掌握”而疑惑嗎？教學(xué)之難，難在思維有定勢(shì)和慣性，教學(xué)之妙，妙在認(rèn)知有規(guī)律和方法。
一、好問(wèn)題才能訓(xùn)練好思維
大家都知道，數(shù)學(xué)教和學(xué)的核心是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。
其實(shí)“培養(yǎng)”一詞太寬泛籠統(tǒng)，大家都知道這樣說(shuō)，但誰(shuí)都不知道具體怎么做。更準(zhǔn)確地應(yīng)該用“訓(xùn)練”一詞，即選擇合適的材料和內(nèi)容，按照科學(xué)的方法和程序，有目的有系統(tǒng)地實(shí)施既定方案。研究表明，思維能力是可以通過(guò)訓(xùn)練而得以提升的。
教材上沒(méi)有，教參上沒(méi)有，教輔資料上也沒(méi)有，完全要靠老師自悟自創(chuàng)。有些老師照本宣科就題講題，學(xué)生的思維發(fā)展就要依賴(lài)自身的天賦和習(xí)慣了。如果老師能根據(jù)學(xué)生情況設(shè)計(jì)啟發(fā)性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生的思維能力就在潛移默化中得到較好的發(fā)展。思維是不能直接教授的，需要在解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷地練習(xí)、體驗(yàn)、思考、總結(jié)、重復(fù)、強(qiáng)化。數(shù)學(xué)思維蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的生成和數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決之中。
教學(xué)中如何處理知識(shí)教學(xué)和解題教學(xué)正是老師境界高下的區(qū)別之處。
老師的教學(xué)若如天馬行空不得要領(lǐng)，學(xué)生就會(huì)懵懂不清無(wú)法理解真意。老師的教學(xué)若能因勢(shì)利導(dǎo)循循善誘，學(xué)生自然心開(kāi)意解輕松領(lǐng)悟本質(zhì)。老師根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)南盗袉?wèn)題并相機(jī)啟發(fā)引導(dǎo)，就能形成一種“勢(shì)”，推動(dòng)學(xué)生順勢(shì)進(jìn)行思考和練習(xí)，逐步深入理解問(wèn)題掌握思維方法，形成良好思維品質(zhì)。思維能力的一項(xiàng)重要指標(biāo)是思維鏈的質(zhì)量，思維能力強(qiáng)的人思維鏈的節(jié)點(diǎn)連接準(zhǔn)確、跨度大、數(shù)量多、指向活，而思維能力弱的人思維鏈長(zhǎng)度短，且容易斷，容易錯(cuò)誤連接，缺少邏輯性和靈活性。大多數(shù)人思維的發(fā)展是一個(gè)漸悟的過(guò)程，是螺旋式上升，曲線式前進(jìn)，然后逐步穩(wěn)定和固化，才能形成良好的思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。老師在訓(xùn)練學(xué)生思維時(shí)不能急于求成，要循序漸進(jìn)，要在解決問(wèn)題的過(guò)程中經(jīng)歷積累經(jīng)驗(yàn)－感悟生成－強(qiáng)化穩(wěn)固的過(guò)程。問(wèn)題設(shè)計(jì)和預(yù)設(shè)引導(dǎo)的原則：
1.低起點(diǎn)，讓所有學(xué)生都能理解，體驗(yàn)勝任感。
2.小臺(tái)階，讓學(xué)生多次逐步練習(xí)，訓(xùn)練熟練性。3.重邏輯，讓思考過(guò)程自然合理，發(fā)展邏輯思維。4.上高度，為學(xué)生提供更大空間，促進(jìn)思維躍升。
5.自主思考，盡量讓學(xué)生自已解決問(wèn)題，積累經(jīng)驗(yàn)。6.開(kāi)放發(fā)散，鼓勵(lì)學(xué)生提出新問(wèn)題新方法，培養(yǎng)創(chuàng)造力。下面我們用實(shí)例呈現(xiàn)具體做法。
二、用問(wèn)題串設(shè)置臺(tái)階，讓理解層層深入（1）數(shù)軸上表示1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離怎么算？預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：可以用3-1=2，或|1-3|=2.（2）數(shù)軸上表示﹣1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離怎么算？預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：可以用3-(-1)=4，或|-1-3|=4.（3）數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距離怎么表示（其中a>b）？預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：可以用a-b表示，或|b-a|表示.（4）數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距離怎么表示？預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：可以用|a-b|或|b-a|表示.（5）概括兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算方法.預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：如果已知兩數(shù)大小關(guān)系，距離為大數(shù)減小數(shù)的差；如果不確定兩數(shù)的大小關(guān)系，距離為兩數(shù)差的絕對(duì)值.（6）|a-b|的幾何意義是什么？|a|的幾何意義是什么？預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：|a-b|是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到數(shù)b的點(diǎn)之間的距離，|a|可以看成|a-0|，即表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離.（7）|x-1|+|x+2|的幾何意義是什么？請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上畫(huà)出來(lái).預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：|x-1|+|x+2|意義為數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示1的點(diǎn)及表示-2的點(diǎn)的距離之和，根據(jù)表示數(shù)x的點(diǎn)的位置不同，可以畫(huà)出三種圖形.（8）觀察數(shù)軸，|x-1|+|x+2|有最大值嗎？有最小值嗎？預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：觀察數(shù)軸，表示x的點(diǎn)在-2左邊移動(dòng)，或在1的右邊移動(dòng)時(shí)，距離都大于3且無(wú)限增加，|x-1|+|x+2|的值大于3且無(wú)限增大，所以它沒(méi)有最大值.當(dāng)表示x的點(diǎn)在-2和1之間時(shí)，距離之和為定值3，所以當(dāng)-2≤x≤1時(shí)它有最小值為3.（9）|x-1|+|x-2|+|x-3|的幾何意義是什么？當(dāng)x為何值時(shí)該式有最小值？最小值是多少？預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：在數(shù)軸上畫(huà)出表示x的點(diǎn)到1、2、3的距離，把x畫(huà)在不同位置觀察，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時(shí)三段距離之和最小值為2.（10）求當(dāng)x為何值時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值？最小值是多少？預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：在數(shù)軸上畫(huà)出表示x的點(diǎn)到1、2、3、4的距離，把x畫(huà)在不同位置觀察，發(fā)現(xiàn)當(dāng)2≤x≤3時(shí)四段距離之和最小值為1+3=4.（11）通過(guò)以上計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-n|取得最小值時(shí)，怎樣確定x的值？預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x取正中間的數(shù)（按大小排列）；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x在中間的兩個(gè)數(shù)之間（按大小排列），可以簡(jiǎn)稱(chēng)為“取中法”.（12）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-100|的最小值.預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：用“取中法”知，當(dāng)50≤x≤51時(shí)，式子取得最小值，配對(duì)組合，x到50與51的距離和為1，x到49與52的距離和為3，x到48與53的距離和為5，……，即求1+3+5+……+99=50^2=2500.（13）求|x-1|+|2x-3|+|x+3|的最小值.預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：先轉(zhuǎn)化|x-1|+|2x-3|+|x+3|=|x-1|+2|x-1.5|+|x+3|=|x+3|+|x-1|+|x-1.5|+|x-1.5|，即表示x的點(diǎn)到-3、1、1.5、1.5四個(gè)點(diǎn)的距離之和，用“取中法”知，當(dāng)1≤x≤1.5時(shí)，式子取得最小值為5.（14）求|x-1|+|0.5x-3|+|x+3|的最小值.預(yù)設(shè)與引導(dǎo)：先轉(zhuǎn)化|x-1|+|0.5x-3|+|x+3|=0.5(2|x-1|+|x-6|+2|x+3|)=0.5(|x+3|+|x+3|+|x-1|+|x-1|+|x-6|)，原問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求表示x的點(diǎn)到-3、-3、1、1、6五個(gè)點(diǎn)的距離之和的最小值，用“取中法”知，當(dāng)x=1時(shí)，式子取得最小值為6.5.（5）某環(huán)形道路上順次排列有4家快遞公司：A、B、C、D，它們分別有快遞車(chē)16輛、8輛、4輛、12輛，為使各快遞公司的車(chē)輛數(shù)相同，允許一些快遞公司向相鄰公司調(diào)出，問(wèn)共有多少種調(diào)配方案，使調(diào)動(dòng)的車(chē)輛數(shù)最少？并求出調(diào)出的最少車(chē)輛數(shù)．
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