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問(wèn)題導(dǎo)思維,漸悟入佳境-例說(shuō)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

知行合一是真知,理事不二是至理。

于無(wú)聲處聽(tīng)驚雷,于念起時(shí)觀虛妄。

浮世萬(wàn)千,吾愛(ài)有三,

朝陽(yáng),明月,

和心中的花。

陽(yáng)光燦爛,月光皎潔,心光照亮一切。


早就收到平臺(tái)開(kāi)通付費(fèi)閱讀的邀請(qǐng),今天第一次開(kāi)。
創(chuàng)作不易,干貨難得,花一塊糖果錢(qián)犒勞辛苦碼字的作者,先謝謝大家!

本文字?jǐn)?shù):共8778字。
適合對(duì)象:數(shù)學(xué)老師、初中學(xué)生和家長(zhǎng)。
本文提綱:
1.好問(wèn)題才能訓(xùn)練好思維。
2.用問(wèn)題串設(shè)置臺(tái)階,讓理解層層深入。
3.用問(wèn)題串疊加難度,讓方法逐漸純熟。
4.用問(wèn)題串反復(fù)變式,讓思想潛移默化。
5.利用問(wèn)題串生成思維鏈。
閱讀本文你將獲得以下干貨:
1.如何設(shè)計(jì)問(wèn)題串簡(jiǎn)化問(wèn)題揭示本質(zhì)。
2.如何合理搭臺(tái)階引導(dǎo)探究訓(xùn)練思維。
3.如何進(jìn)行問(wèn)題變式強(qiáng)化觀念滲透思想。
4.幫助學(xué)生(七年級(jí))深度理解絕對(duì)值問(wèn)題的實(shí)例。
5.幫助學(xué)生(七年級(jí))熟練解決數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的實(shí)例。
6.幫助學(xué)生(七年級(jí))靈活處理一元一次方程問(wèn)題的實(shí)例。
7.通過(guò)問(wèn)題實(shí)例幫助學(xué)生形成整體和對(duì)應(yīng)的觀念,掌握轉(zhuǎn)化化歸、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等方法,理解可視化、簡(jiǎn)單化、組塊化、流程化的思維策略,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。

先發(fā)表點(diǎn)感慨:教書(shū)越久越感覺(jué)教學(xué)之難,同時(shí)也越發(fā)現(xiàn)教學(xué)之妙!
《顏氏家訓(xùn)》說(shuō):“上智不教而成,下愚雖教無(wú)益,中庸之人,不教不知也。”
現(xiàn)實(shí)中上智者很少,下愚者不多,中庸之人占大多數(shù)。
老師最大的用武之地是大多數(shù)中等生,老師可以幫助他們變得更好,上升到優(yōu)秀者的行列。
教育教學(xué)是在和人性打交道,而大眾的人性本能是反教育的。
有人說(shuō):當(dāng)學(xué)生意識(shí)到自己是在被教育的時(shí)候,教育由此已經(jīng)失敗了。
是啊,誰(shuí)愿意被改變被馴服呢?誰(shuí)愿意離開(kāi)舒適區(qū)對(duì)抗習(xí)慣呢?
除非他自己想要。
所以真正有效的教育是一種“潛教育”。
蓬生麻中,不扶自直-這是創(chuàng)造情境的“潛教育”。
激水之疾,至于漂石-這是創(chuàng)造勢(shì)能的“潛教育”。
作為老師,要知情、設(shè)境、成勢(shì)、賦能,自然水到渠成。
當(dāng)然要做到很不容易,教育是一個(gè)龐大的系統(tǒng)工程,它既是科學(xué)又是哲學(xué),既是技術(shù)又是藝術(shù)。為了研究教育,我致力于了解各種與人相關(guān)的知識(shí),如教育學(xué)、心理學(xué)、行為學(xué)、腦科學(xué)、認(rèn)知學(xué)、哲學(xué)、心學(xué)等。
當(dāng)你了解到“人是習(xí)慣的動(dòng)物,是情緒的奴隸”,你還會(huì)糾結(jié)于“講了好多遍學(xué)生還不會(huì)”這個(gè)問(wèn)題嗎?
當(dāng)你了解到“學(xué)習(xí)就是認(rèn)知圖式的建構(gòu)”,你還會(huì)為“掰開(kāi)了揉碎了講清了學(xué)生還是沒(méi)掌握”而疑惑嗎?
教學(xué)之難,難在思維有定勢(shì)和慣性,教學(xué)之妙,妙在認(rèn)知有規(guī)律和方法。

一、好問(wèn)題才能訓(xùn)練好思維

大家都知道,數(shù)學(xué)教和學(xué)的核心是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

其實(shí)“培養(yǎng)”一詞太寬泛籠統(tǒng),大家都知道這樣說(shuō),但誰(shuí)都不知道具體怎么做。
更準(zhǔn)確地應(yīng)該用“訓(xùn)練”一詞,即選擇合適的材料和內(nèi)容,按照科學(xué)的方法和程序,有目的有系統(tǒng)地實(shí)施既定方案。
研究表明,思維能力是可以通過(guò)訓(xùn)練而得以提升的。
那么,思維訓(xùn)練的材料和方法在哪里?
教材上沒(méi)有,教參上沒(méi)有,教輔資料上也沒(méi)有,完全要靠老師自悟自創(chuàng)。
有些老師照本宣科就題講題,學(xué)生的思維發(fā)展就要依賴(lài)自身的天賦和習(xí)慣了。
如果老師能根據(jù)學(xué)生情況設(shè)計(jì)啟發(fā)性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生的思維能力就在潛移默化中得到較好的發(fā)展。
思維是不能直接教授的,需要在解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷地練習(xí)、體驗(yàn)、思考、總結(jié)、重復(fù)、強(qiáng)化。
數(shù)學(xué)思維蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的生成和數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決之中。
教學(xué)中如何處理知識(shí)教學(xué)和解題教學(xué)正是老師境界高下的區(qū)別之處。
老師的教學(xué)若如天馬行空不得要領(lǐng),學(xué)生就會(huì)懵懂不清無(wú)法理解真意。
老師的教學(xué)若能因勢(shì)利導(dǎo)循循善誘,學(xué)生自然心開(kāi)意解輕松領(lǐng)悟本質(zhì)。
老師根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)南盗袉?wèn)題并相機(jī)啟發(fā)引導(dǎo),就能形成一種“勢(shì)”,推動(dòng)學(xué)生順勢(shì)進(jìn)行思考和練習(xí),逐步深入理解問(wèn)題掌握思維方法,形成良好思維品質(zhì)。
思維能力的一項(xiàng)重要指標(biāo)是思維鏈的質(zhì)量,思維能力強(qiáng)的人思維鏈的節(jié)點(diǎn)連接準(zhǔn)確、跨度大、數(shù)量多、指向活,而思維能力弱的人思維鏈長(zhǎng)度短,且容易斷,容易錯(cuò)誤連接,缺少邏輯性和靈活性。
大多數(shù)人思維的發(fā)展是一個(gè)漸悟的過(guò)程,是螺旋式上升,曲線式前進(jìn),然后逐步穩(wěn)定和固化,才能形成良好的思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。
老師在訓(xùn)練學(xué)生思維時(shí)不能急于求成,要循序漸進(jìn),要在解決問(wèn)題的過(guò)程中經(jīng)歷積累經(jīng)驗(yàn)-感悟生成-強(qiáng)化穩(wěn)固的過(guò)程。
問(wèn)題設(shè)計(jì)和預(yù)設(shè)引導(dǎo)的原則:
1.低起點(diǎn),讓所有學(xué)生都能理解,體驗(yàn)勝任感。
2.小臺(tái)階,讓學(xué)生多次逐步練習(xí),訓(xùn)練熟練性。
3.重邏輯,讓思考過(guò)程自然合理,發(fā)展邏輯思維。
4.上高度,為學(xué)生提供更大空間,促進(jìn)思維躍升。
5.自主思考,盡量讓學(xué)生自已解決問(wèn)題,積累經(jīng)驗(yàn)。
6.開(kāi)放發(fā)散,鼓勵(lì)學(xué)生提出新問(wèn)題新方法,培養(yǎng)創(chuàng)造力。
下面我們用實(shí)例呈現(xiàn)具體做法。
二、用問(wèn)題串設(shè)置臺(tái)階,讓理解層層深入
例1.絕對(duì)值的幾何意義
(1)數(shù)軸上表示1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離怎么算?
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):可以用3-1=2,或|1-3|=2.
(2)數(shù)軸上表示﹣1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離怎么算?
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):可以用3-(-1)=4,或|-1-3|=4.
(3)數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距離怎么表示(其中a>b)?
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):可以用a-b表示,或|b-a|表示.
(4)數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距離怎么表示?
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):可以用|a-b|或|b-a|表示.
(5)概括兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算方法.
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):如果已知兩數(shù)大小關(guān)系,距離為大數(shù)減小數(shù)的差;如果不確定兩數(shù)的大小關(guān)系,距離為兩數(shù)差的絕對(duì)值.
(6)|a-b|的幾何意義是什么?|a|的幾何意義是什么?
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):|a-b|是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到數(shù)b的點(diǎn)之間的距離,|a|可以看成|a-0|,即表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離.
(7)|x-1|+|x+2|的幾何意義是什么?請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上畫(huà)出來(lái).
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):|x-1|+|x+2|意義為數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示1的點(diǎn)及表示-2的點(diǎn)的距離之和,根據(jù)表示數(shù)x的點(diǎn)的位置不同,可以畫(huà)出三種圖形.
(8)觀察數(shù)軸,|x-1|+|x+2|有最大值嗎?有最小值嗎?
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):觀察數(shù)軸,表示x的點(diǎn)在-2左邊移動(dòng),或在1的右邊移動(dòng)時(shí),距離都大于3且無(wú)限增加,|x-1|+|x+2|的值大于3且無(wú)限增大,所以它沒(méi)有最大值.當(dāng)表示x的點(diǎn)在-2和1之間時(shí),距離之和為定值3,所以當(dāng)-2≤x≤1時(shí)它有最小值為3.
(9)|x-1|+|x-2|+|x-3|的幾何意義是什么?當(dāng)x為何值時(shí)該式有最小值?最小值是多少?
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):在數(shù)軸上畫(huà)出表示x的點(diǎn)到1、2、3的距離,把x畫(huà)在不同位置觀察,發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時(shí)三段距離之和最小值為2.
(10)求當(dāng)x為何值時(shí),|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值?最小值是多少?
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):在數(shù)軸上畫(huà)出表示x的點(diǎn)到1、2、3、4的距離,把x畫(huà)在不同位置觀察,發(fā)現(xiàn)當(dāng)2≤x≤3時(shí)四段距離之和最小值為1+3=4.
(11)通過(guò)以上計(jì)算,你發(fā)現(xiàn)|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-n|取得最小值時(shí),怎樣確定x的值?
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),x取正中間的數(shù)(按大小排列);當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),x在中間的兩個(gè)數(shù)之間(按大小排列),可以簡(jiǎn)稱(chēng)為“取中法”.
(12)求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-100|的最小值.
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):用“取中法”知,當(dāng)50≤x≤51時(shí),式子取得最小值,配對(duì)組合,x到50與51的距離和為1,x到49與52的距離和為3,x到48與53的距離和為5,……,即求1+3+5+……+99=50^2=2500.
(13)求|x-1|+|2x-3|+|x+3|的最小值.
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):先轉(zhuǎn)化|x-1|+|2x-3|+|x+3|=|x-1|+2|x-1.5|+|x+3|=|x+3|+|x-1|+|x-1.5|+|x-1.5|,即表示x的點(diǎn)到-3、1、1.5、1.5四個(gè)點(diǎn)的距離之和,用“取中法”知,當(dāng)1≤x≤1.5時(shí),式子取得最小值為5.
(14)求|x-1|+|0.5x-3|+|x+3|的最小值.
預(yù)設(shè)與引導(dǎo):先轉(zhuǎn)化|x-1|+|0.5x-3|+|x+3|=0.5(2|x-1|+|x-6|+2|x+3|)=0.5(|x+3|+|x+3|+|x-1|+|x-1|+|x-6|),原問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求表示x的點(diǎn)到-3、-3、1、1、6五個(gè)點(diǎn)的距離之和的最小值,用“取中法”知,當(dāng)x=1時(shí),式子取得最小值為6.5.
(5)某環(huán)形道路上順次排列有4家快遞公司:A、B、C、D,它們分別有快遞車(chē)16輛、8輛、4輛、12輛,為使各快遞公司的車(chē)輛數(shù)相同,允許一些快遞公司向相鄰公司調(diào)出,問(wèn)共有多少種調(diào)配方案,使調(diào)動(dòng)的車(chē)輛數(shù)最少?并求出調(diào)出的最少車(chē)輛數(shù).
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