相傳有一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)。雙方大戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營。而漢軍也有傷亡，只是一時還不知傷亡多少。于是，韓信整頓兵馬也返回大本營，準備清點人數(shù)。當行至一山坡時，忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來。韓信馳上高坡觀看，只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已經(jīng)十分疲憊了，這時不由得人心大亂。韓信仔細地觀看敵方，發(fā)現(xiàn)來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。不一會兒，值日副官報告，共有1035人。他還不放心，決定自己親自算一下。于是命令士兵3人一列，結果多出2名；接著，他又命令士兵5人一列，結果多出3名；再命令士兵7人一列，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：值日副官計錯了，我軍共有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統(tǒng)帥，這一來更相信韓信是“神仙下凡”、“神機妙算”，于是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍個個奮勇迎敵，楚軍頓時亂作一團。交戰(zhàn)不久，楚軍大敗而逃。 韓信是中國古代一位有名的大元帥。他少年時就父母雙亡，生活困難，曾靠乞討為生，還經(jīng)常受到某些潑皮的欺凌，胯下之辱講的就是韓信少年時被潑皮強迫從胯下鉆過的事。后來他投奔劉邦，展現(xiàn)了他杰出的軍事才能，為劉邦打敗了楚霸王項羽立下汗馬功勞，開創(chuàng)了劉漢皇朝四百年的基業(yè)。民間流傳著一些以韓信為主角的有關聰明人的故事，韓信點兵的故事就是其中的一個。 戰(zhàn)事結束后，部將好奇地問韓信：“大帥是如何迅速地算出我軍人馬的呢？”韓信說：“我是根據(jù)編隊時排尾的余數(shù)算出來的?！?/span> 韓信到底是怎么算出來的呢？這是中國古代流傳于民間的一道趣味算術題，叫做韓信點兵，還有一首四句詩隱含了解題的法門： “三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝。 七子團圓正半月，除百零五便得知?！?/span> 詩里讓人記住這幾個數(shù)字：3與70，5與21，7與15，還有105（也就是3、5、7的公倍數(shù)）。這些數(shù)是什么意思呢？題中3人一列多2人，用2×70；5人一列多3名，用3×21；7人一列多2人，用2×15，三個乘積相加： 2×70+3×21+2×15=233 用233除以3余2，除以5余3，除以7余1，符合題中條件。但是，因為105是3、5、7的公倍數(shù)，所以233加上或減去若干個105仍符合條件。這樣一來，128、338、443、548、653……都符合條件?？傊?，233加上或減去105的整數(shù)倍，都可能是答案。韓信根據(jù)現(xiàn)場觀察，選擇了和1035最接近的數(shù)字1073。 詩歌里的70，21，15又是怎么得來的呢？70是5和7的公倍數(shù)，除以3余1；21是3和7的公倍數(shù)，除以5余1； 15是3和5的公倍數(shù)，除以7余1。 中國有一本數(shù)學古書《孫子算經(jīng)》也有類似的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？” 答曰：“二十三?！?nbsp; 術曰：“三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得?！?/span> 什么意思呢？用現(xiàn)代語言說明這個解法就是： 首先找出能被5與7整除而被3除余1的數(shù)70，被3與7整除而被5除余1的數(shù)21，被3與5整除而被7除余1的數(shù)15。如果所求的數(shù)被3除余2，那么就取數(shù)70×2＝140，140是被5與7整除而被3除余2的數(shù)。如果所求數(shù)被5除余3，那么取數(shù)21×3＝63，63是被3與7整除而被5除余3的數(shù)。如果所求數(shù)被7除余2，那就取數(shù)15×2=30，30是被3與5整除而被7除余2的數(shù)。 140＋63＋30=233，由于63與30都能被3整除，所以233與140這兩數(shù)被3除的余數(shù)相同，都是余2，同理233與63這兩數(shù)被5除的余數(shù)相同，都是3，233與30被7除的余數(shù)相同，都是2。所以233是滿足題目要求的一個數(shù)。 70×2＋21×3＋15×2＝233 233－105×2＝23 這就是有名的“中國剩余定理”，或稱“孫子定理”，它和韓信點兵是一個道理。 |
