美妙數(shù)學(xué)天天見，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)。親愛的同學(xué)們，你們好！我是朱樂平名師工作站的盧偉青老師，今天我?guī)Ыo大家的是“韓信點(diǎn)兵”。
一起回顧微課學(xué)習(xí)過程
故事梗概
有一次戰(zhàn)斗后，韓信要清點(diǎn)士兵的人數(shù)。讓士兵三人一組，就有兩人沒法編組；五人一組，就有三人無法編組；七人一組，就有兩人無法編組。那么請問這些士兵一共有幾人？
美美
這是什么意思呢？
天天
我想，需要轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言更有利于問題解決。
有一個(gè)數(shù)，用它除以3余2，除以5余3，除以7余2，那么這個(gè)數(shù)是多少？
窮舉法解題
天天
我可以將它們一一列舉出來，看看哪些數(shù)同時(shí)符合這些條件。
這三個(gè)數(shù)列中都有23，所以23是滿足除以3余2，除以5余3，除以7余2的。如果繼續(xù)列舉，還能找到128、233……
美美
用23每加一次105就會得到一個(gè)結(jié)果，看來有無數(shù)個(gè)解。
這是因?yàn)?05是3、5、7的最小公倍數(shù)，那么23加上或減去若干個(gè)105后，不會改變除以3、5、7的余數(shù)。所以我們可以用下列方式表示最后的結(jié)果：
歌訣解題
“三人同行七十稀”指將除以3的余數(shù)乘70，“五樹梅花二十一”指將除以5的余數(shù)乘21，“七子團(tuán)圓正半月”指將除以7的余數(shù)乘15，把以上這些數(shù)相加再減去105。
原因探究
天天
為什么這么做就能同時(shí)滿足除以3余2，除以5余3，除以7余2？
為什么除以3的余數(shù)要乘70？
將70分別除以3、5、7，會發(fā)現(xiàn)70是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。那么任何一個(gè)數(shù)添加一個(gè)70后，不會改變除以5、7的余數(shù)，但是會在除以3的余數(shù)中多一個(gè)1。如下圖：左邊是18分別除以3、5、7的結(jié)果，右邊是18加70后除以3、5、7的結(jié)果，比較可知除以5和7的余數(shù)沒有改變，除以3的余數(shù)多了一個(gè)1。
現(xiàn)在題中“除以3余2”，即意味著這個(gè)數(shù)要包含2個(gè)70。因此要2乘70。
為什么除以5的余數(shù)要乘21？
美美
現(xiàn)在你能說出為什么除以5的余數(shù)要乘21嗎？
21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1，那么任何一個(gè)數(shù)添加一個(gè)21后，不會改變除以3和7的余數(shù)，但會在除以5的余數(shù)中多出一個(gè)1。題中“除以5余3”，即該數(shù)含有3個(gè)21，所以要3乘21。
為什么除以7的余數(shù)要乘15？
同理可知15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1，那么任何一個(gè)數(shù)添加一個(gè)15后，不會改變除以3、5的余數(shù)，但會在除以7的余數(shù)中多一個(gè)1。題目“除以7余2”，說明這個(gè)數(shù)要包含2個(gè)15，所以要2乘15。
最后的結(jié)果
將上述三個(gè)算式相加，就得到了同時(shí)滿足除以3余2、除以5余3、除以7余2三個(gè)條件的數(shù)233。又因?yàn)?、5、7的最小公倍數(shù)是105，所以233加或減去若干個(gè)105后都不改變除以3、5、7的余數(shù)。于是，我們同樣找到最后結(jié)果：
老師
原來是這樣的道理。你們明白了嗎？看看還有誰研究過這個(gè)問題呢。
中國剩余定理
世界著名的數(shù)學(xué)家歐拉、高斯等人，都曾經(jīng)研究過這個(gè)問題。我國古代的先賢在這方面取得了豐碩的成果?！绊n信點(diǎn)兵”問題只是一個(gè)例子，這樣的問題有更加普遍和系統(tǒng)化的表示方法。而這個(gè)方法，就被世界稱為“中國剩余定理”，是我國為數(shù)不多的獲得世界公認(rèn)的古代數(shù)學(xué)成就之一。
小試牛刀
一個(gè)數(shù)，除以4余2，除以7余3，除以13余5。這個(gè)數(shù)是多少？
美妙數(shù)學(xué)天天見，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)。
今天的分享就到這里。我們明天見。
審核人：蘇陳林
