數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，提煉出數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、準(zhǔn)確表達(dá)、有序多級的系統(tǒng)。
在做題時(shí)，學(xué)生對一些易錯(cuò)習(xí)題的理解不夠透徹，對概念、圖形等的抽象能力比較弱，于是我針對這些易錯(cuò)題做了分類。
類型概念類圖形類規(guī)律探索類統(tǒng)計(jì)數(shù)43 43 43錯(cuò)誤數(shù)16 26 38錯(cuò)誤率37.2%60.5%88.4%錯(cuò)因分析概念理解模糊，靈活應(yīng)用解決問題的能力不足。如：三角形三邊關(guān)系，對兩邊之和大于第三邊的結(jié)論不能夠很好地應(yīng)用。數(shù)形轉(zhuǎn)化出現(xiàn)斷層，分?jǐn)?shù)概念等理解不到位，缺乏抽象概括和建構(gòu)知識(shí)能力。不能很清晰地看出內(nèi)在規(guī)律，不能很好感知圖形的變化，透過變化抽出本質(zhì)的能力不足。
這些問題反映出學(xué)生對知識(shí)的體驗(yàn)不深刻，對概念的形成過程不夠熟悉，抽象概括能力比較弱；學(xué)生頭腦中沒有形成清晰的知識(shí)體系，不能進(jìn)行有效的知識(shí)遷移。因此，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可忽視的一個(gè)問題，也是值得廣大教師在實(shí)踐中深入研究和探索的內(nèi)容。
數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，而抽象的數(shù)學(xué)思維學(xué)生通常難以把握，需要教師通過直觀的方式，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加形象地呈現(xiàn)，便于學(xué)生理解和內(nèi)化。
【例1】商中間、末尾有0的除法
師：306÷3的商大約是多少？你是怎樣估算的？
師：結(jié)果到底是多少呢？請你們先嘗試算一算。
師：你是怎么算的？為什么可以這樣算？
（1）交流豎式
師：你們怎么計(jì)算306÷3？說一說計(jì)算過程。
生1：先用3 個(gè)百除以3 得1 個(gè)百，接著用十位上的0除以3得到1個(gè)零，再用個(gè)位上的6個(gè)一除以3得2個(gè)一，最后將1個(gè)百加上2個(gè)一就等于102。
“全過程”的要求也需要明確錄制的內(nèi)容。對收集言詞證據(jù)錄制內(nèi)容需要包含取證的環(huán)境、相關(guān)權(quán)利義務(wù)的告知、辦案人員提問的內(nèi)容、被取證者陳述和回答的內(nèi)容、被取證者的表情神態(tài)動(dòng)作舉止等。對搜查、查封、扣押等取證工作的錄音錄像除了包含調(diào)查人員搜查、扣押、查封行為外，還應(yīng)當(dāng)包含取證現(xiàn)場環(huán)境、現(xiàn)場人員的體貌特征和言行舉止、見證人、收集到證據(jù)的形態(tài)特征、調(diào)查人員現(xiàn)場開具、送達(dá)法律文書和對有關(guān)物品采取措施情況等。
師：你們在解題的過程中遇到了什么新問題？
我給家長打了個(gè)比方：人生是場馬拉松，培養(yǎng)學(xué)生廣泛的愛好和技能，不斷增長見識(shí)，擁有夢想和毅力是人生馬拉松后程發(fā)力的重要保證。為了讓家長能放下心來，使學(xué)生更好地成長，我召開了一次班會(huì)課，并邀請家長出席。
生2：被除數(shù)中間有0。
師：你們是怎么解決的？商的十位上為什么商0？
生3：因?yàn)楸怀龜?shù)十位上是0，0÷3=0。
師：是呀，被除數(shù)的百位上正好被除盡，其十位上的0除以3得0，0商在十位上，個(gè)位落下來繼續(xù)除。
初步設(shè)計(jì)和概算獲得批復(fù)后，應(yīng)立即開始施工圖設(shè)計(jì)。在圖紙?jiān)O(shè)計(jì)階段，甲方基建部門應(yīng)做好審圖把關(guān)，對照初步設(shè)計(jì)文件審查，并核對圖紙?zhí)子迷O(shè)計(jì)規(guī)范的準(zhǔn)確性。后續(xù)的概算編制工作應(yīng)重點(diǎn)審查概算和預(yù)算的差價(jià)，并及時(shí)調(diào)整相關(guān)工程的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，以符合初步設(shè)計(jì)和概算批復(fù)要求。
我正在發(fā)愣，巴克夏推了推我。一看，她落落大方地把行李和臉盆牙具放到地上說：“謝謝大家來接我——”一看是我們，便笑道：“是你們？怎么樣？說話算數(shù)，言而有信吧？”說著向我伸過手來。
（2）簡化算式
師：有的同學(xué)這樣寫（如右圖），這種寫法合理嗎？你們還有更簡便的寫法嗎？
（3）借圖釋理
將文獻(xiàn)閱讀引入本科概率論教學(xué)，是一種有益的嘗試。學(xué)生讀懂文獻(xiàn)的過程是學(xué)生在對教材知識(shí)深刻理解的基礎(chǔ)上，查找資料、自主學(xué)習(xí)的過程；同時(shí)也是充分體會(huì)作者的創(chuàng)新出發(fā)點(diǎn)、思路以及行文邏輯的過程；閱讀筆記的撰寫和文獻(xiàn)的講解則顯著提高了學(xué)生的書面和口頭表達(dá)能力；同時(shí)，小組的共同努力既鍛煉了團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，也加強(qiáng)了師生的聯(lián)系與互動(dòng)。
師：我們借助方格圖來看一看306÷3 的計(jì)算過程。
師：請用筆圈一圈、分一分，表示計(jì)算過程。
生4：只需要兩步，先分百位上的 3，3 個(gè)百除以 3 等于 1 個(gè)百;再分個(gè)位上的 6，6 個(gè)一除以 3 等于 2 個(gè)一。因?yàn)槭簧鲜?，0除以3等于0，所以十位上的分的過程可以省略。
師：十位上的這個(gè)0能不寫嗎？為什么？
生5：不能。不寫的話就變成兩位數(shù)了，跟我們一開始估算的結(jié)果——100多（三位數(shù)）不符。
師：如果被除數(shù)的中間、末尾出現(xiàn)0 除以一個(gè)數(shù)，那么在商的相應(yīng)位置上要用0占位。（板書：商0占位）
在“數(shù)的運(yùn)算”的教學(xué)中，借助小方塊等直觀操作可以幫助學(xué)生形成表象，再通過交流進(jìn)行適度抽象，同時(shí)及時(shí)地追問和引導(dǎo)，就能幫助學(xué)生溝通具體感知和抽象概括之間的聯(lián)系，逐步將思維引向深入，實(shí)現(xiàn)對算理的意義建構(gòu)。
抽象是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的基本思維方法，也是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一。數(shù)學(xué)抽象的對象可以是某種現(xiàn)實(shí)原型，但更多的是人們熟知的一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)，它是逐層遞進(jìn)的。教學(xué)需要直觀，但也需跨越直觀，打通直觀與抽象之間的通道，讓學(xué)生沿著這樣的路徑直達(dá)思維內(nèi)核。
【例2】三角形的認(rèn)識(shí)：認(rèn)識(shí)三角形特征，建構(gòu)三角形概念
（1）畫一畫，經(jīng)歷概念的形成過程
師：看了這么多，說了這么多，留在你心目中的三角形是怎樣的呢？請畫下來。
（學(xué)生典型作品展示，圖略）
（2）說一說，語言呈現(xiàn)操作體驗(yàn)
師：你們是怎樣畫出這個(gè)三角形的？
生1：先畫一條線段，然后在其中一個(gè)端點(diǎn)處接著畫第二條線段，最后連起來。
反觀口語化程度相對較強(qiáng)的《美國國情咨文》，因其在短語連接結(jié)構(gòu)和名詞化等特征上使用程度較低，分別只有7．6個(gè)/千詞和22個(gè)/千詞，進(jìn)而增多了時(shí)間狀語、地點(diǎn)狀語等以輔助場景的指代，以及WH主位從句來明確人物關(guān)系的屬性，如例3(劃線部分為時(shí)間狀語，斜體部分為WH主位從句)。
師：誰也是按這個(gè)方法畫的？我們倆能不能合作在黑板上再畫一個(gè)？你來說，我來畫。
生2：點(diǎn)出3個(gè)點(diǎn)，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，先在兩點(diǎn)之間畫出一條線段，接著換一個(gè)點(diǎn)，畫出第二條線段，連接剩下兩點(diǎn)，畫出第三條線段。
師：三角形由3 條線段圍成，3 條線段應(yīng)該需要6 個(gè)點(diǎn)，為什么你只點(diǎn)了3個(gè)點(diǎn)就畫成了？
生2：因?yàn)閲扇切蔚? 條線段一條接著一條，每兩條線段共用一個(gè)端點(diǎn)。也可以說這3 條線段“首尾相接”。
（3）想一想，操作中體會(huì)3點(diǎn)不共線
師：那么是不是任意畫3 個(gè)點(diǎn)都能圍成三角形呢？同桌討論，再拿出方格紙?jiān)囈辉嚒?/p>
師：想象一下，3個(gè)點(diǎn)怎樣放不能圍成三角形？
師（總結(jié)）：圍成三角形的3 個(gè)點(diǎn)不能在同一條直線上。
從“職業(yè)倦怠值”與學(xué)歷之間的聯(lián)系（表6）看，基層農(nóng)技人員中大學(xué)本科、大專學(xué)歷占比最大，各占53.7%、34.0%，碩博士研究生占比低；高中及以下、大學(xué)本科學(xué)歷的基層農(nóng)技人員“職業(yè)倦怠值”均值相對較高，碩博士研究生學(xué)歷的相對較低。從“職業(yè)倦怠值”與職稱之間的聯(lián)系（表7）看，基層農(nóng)技人員中副高級、正高級占比較低，倦怠值也較低；初級、中級職稱人員“職業(yè)倦值”相對偏高，離散程度偏大，這與“初級”“中級”職稱基層農(nóng)技人員職稱存在瓶頸有一定相關(guān)性。
師（發(fā)散）：有了這個(gè)發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在可以放心大膽地找第三個(gè)點(diǎn)了。你想把它擺在哪里？想象這個(gè)三角形的樣子。大膽一些，第三個(gè)點(diǎn)還能擺在哪里？
（4）議一議，歸納概括三角形特征
我國職前體育教師實(shí)習(xí)通常采取“集中型實(shí)習(xí)模式”，實(shí)習(xí)集中在本科第四學(xué)年的第一學(xué)期，其中的弊端顯而易見：學(xué)生實(shí)習(xí)時(shí)間過短，缺乏教學(xué)反思過程。悉尼大學(xué)采取的實(shí)行階段性實(shí)習(xí)模式，讓教育實(shí)習(xí)真正成為一種實(shí)踐過程，使得職前教師不斷將課堂與書本中所學(xué)的知識(shí)與實(shí)習(xí)中所獲得的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行融合，逐步形成教學(xué)能力，并有時(shí)間進(jìn)行教學(xué)反思，經(jīng)過回校進(jìn)一步學(xué)習(xí)后，還有機(jī)會(huì)對反思所得進(jìn)行驗(yàn)證、再現(xiàn)和改進(jìn)，在往后實(shí)習(xí)階段不會(huì)出現(xiàn)之前所犯的錯(cuò)誤。通過持續(xù)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累和批判性反思，職前教師才有可能順利地進(jìn)行獨(dú)立教學(xué)。
師：回顧剛才的學(xué)習(xí)，我們交流了不同的畫三角形的過程，也欣賞和想象了大小不一、形狀各異的三角形，那么這些三角形都有什么相同之處呢？
生3：都是由3條線段圍成的。
靶的頂桿用康銅制成T型，上部園盤半徑2cm、長約30cm，下部頂在彈璜上、頂桿套在一鋼筒內(nèi)。園盤上放置半徑2cm，厚度0.001cm的固體DLi靶材料。
生4：都有3個(gè)點(diǎn)（頂點(diǎn)）、3個(gè)角和3條邊。
師：以上兩位同學(xué)總結(jié)的就是三角形的特征。
三角形是最常見的一種圖形，也是最基本的多邊形之一。學(xué)生已經(jīng)積累了一些“空間與圖形”方面的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也具備一定的空間感與抽象思維能力，他們對周圍事物的感知和理解能力，以及探索圖形之間關(guān)系的愿望還在不斷提高。
有關(guān)三角形定義的教學(xué)，教師是通過讓學(xué)生在“畫三角形”的操作活動(dòng)中進(jìn)一步感知三角形的屬性，抽象出概念。首先，學(xué)生通過從點(diǎn)到線、從線到面的操作與觀察中找出三角形的共同點(diǎn)，然后從畫一畫中發(fā)現(xiàn)和明確三角形的特征，最后通過一個(gè)疑問“3條線段應(yīng)該需要6 個(gè)點(diǎn)，為什么你只點(diǎn)了3 個(gè)點(diǎn)就畫成了？”，讓學(xué)生嘗試概括三角形的含義，著重理解“首尾相接”和“圍成”兩個(gè)關(guān)鍵詞，建立正確的三角形概念。教師借助直觀經(jīng)驗(yàn)，把抽象的概念和具體的圖形聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的特征，概括出三角形的定義。學(xué)生通過概念的內(nèi)化與外顯過程，逐步抽象出三角形的模型與其高的本質(zhì)意義，發(fā)展了空間觀念。
課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維?！背橄笥袃蓚€(gè)層次，一個(gè)是直觀描述，另一個(gè)是符號表達(dá)。數(shù)學(xué)是抽象出來的符號體系，建立符號意識(shí)可以清晰、準(zhǔn)確、簡潔地表達(dá)數(shù)學(xué)思想、概念、方法和邏輯。數(shù)學(xué)抽象的主要表征形態(tài)是數(shù)學(xué)符號，數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)抽象思維的外殼。符號意識(shí)是數(shù)學(xué)抽象的衍生素養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象最終指向的是數(shù)學(xué)模型的建立和數(shù)學(xué)思想方法的形成，以及建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的過程。
【例3】乘法分配律
（1）結(jié)合情境引發(fā)問題
師：同學(xué)們表演節(jié)目，男、女生分別按隊(duì)形站，男生隊(duì)形每行13人，有8行；女生隊(duì)形每行11人，有8行。你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？
生1：男、女生一共有多少人？
師：你會(huì)列式嗎？
生1：13×8+11×8。①
師：還有別的算法嗎？
生2：（11+13）×8。②
師：為什么這樣算？為什么可以把它們合起來？
(1)電滲析法除鹽技術(shù)在煉油廠MDEA溶液脫除HSS的工業(yè)應(yīng)用中取得了預(yù)期的效果，在MDEA溶液中HSS濃度較高時(shí)，去除效率較高，隨著HSS濃度的下降，去除效率也隨之下降。
生3：因?yàn)槟小⑴际?行。
（2）數(shù)形結(jié)合理解算理
師：你能用直觀的圖例表示①和②兩個(gè)算式相等嗎？
（3）多樣驗(yàn)證解釋
（學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證，得出乘法意義理解：13個(gè)8和11個(gè)8相加就是24個(gè)8相加）
師：如果女生隊(duì)形每行增加2人，男生隊(duì)形每行增加3人，兩種算法的結(jié)果還相等嗎？為什么？
生4：相等。13×8+16×8=（13+16）×8。③
師：再變一下，如果一個(gè)長方形長是a米，寬是8米，另一個(gè)長方形長是b 米，寬是8 米，兩個(gè)長方形的面積之和是多少？
生5：a×8+b×8=（a+b）×8。④
師：觀察這4個(gè)算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
這家伙沒心沒肺，肖玉死得比她慘，她在學(xué)校放假回家趕火車的時(shí)候，人太多，被擠下站臺(tái)，讓迎面進(jìn)站的火車軋成兩截。我一個(gè)月前知道這事的時(shí)候，正在從昆明回家的火車上。暑假回來高中同學(xué)聚會(huì)，大家都哭了，但直到今天才敢去她家。
（學(xué)生通過舉例，歸納得出結(jié)論：a×c+b×c=（a+b）×c）
從科學(xué)公信力的三個(gè)維度（工具性信任、倫理性信任、符號性信任）出發(fā)，筆者從科學(xué)的應(yīng)用效果、科學(xué)家的可信度、科學(xué)知識(shí)與方法的客觀性三個(gè)方面，設(shè)計(jì)了包含七條陳述項(xiàng)目的科學(xué)公信力量表。其中工具性信任指標(biāo)包括第1、2、6這三條陳述，倫理性信任指標(biāo)包括第4、7這兩條陳述，而符號性信任指標(biāo)包括第3、5這兩條陳述。根據(jù)李克特量表的選項(xiàng)分類與賦值方式，每條項(xiàng)目包括“非常不同意”“比較不同意”“無所謂同意不同意”“比較同意”“非常同意”五種可能的回答，分別賦值 1、2、3、4、5 分。然后將相關(guān)陳述的得分加總，得到工具性信任、倫理性信任、符號性信任以及科學(xué)公信力的分?jǐn)?shù)。這七條陳述及其基本的描述性統(tǒng)計(jì)如表1所示。
數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要任務(wù)就是讓學(xué)生建立符號意識(shí)，懂得符號的意義，感受和掌握使用符號的能力，會(huì)運(yùn)用符號解決實(shí)際問題，發(fā)展抽象思維能力。讓學(xué)生經(jīng)歷“具體事物→個(gè)性化的符號表示→數(shù)學(xué)地表示”的符號化過程，才能有效提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
對于有關(guān)企業(yè)人力資源管理工作的高素質(zhì)人才，要適當(dāng)進(jìn)行鼓勵(lì)。比如說，對于高效率完成相關(guān)工作的工作人員，要適當(dāng)給予一定程度上的福利待遇，激勵(lì)員工更加努力有效地工作。另外，對于長期處于壓力狀態(tài)下的企業(yè)部門，企業(yè)的人力資源管理部門應(yīng)組織相關(guān)人員進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆潘伞＠?，可以組織相關(guān)人員進(jìn)行內(nèi)部聚餐，或者在工作告一段落之后，組織相關(guān)工作人員出去游玩，放松心情等等，都是企業(yè)人力資源部門應(yīng)該組織開展的有效策略。
培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，對他們學(xué)好數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，培養(yǎng)初步邏輯思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義。史寧中教授說：“數(shù)學(xué)的表達(dá)是符號的，但教學(xué)應(yīng)當(dāng)是物理的；數(shù)學(xué)的證明是形式的，但教學(xué)應(yīng)當(dāng)是直觀的；數(shù)學(xué)的體系是公理的，但教學(xué)應(yīng)當(dāng)是歸納的?！睂τ诮處焷碚f，不能為抽象而抽象，應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)?、物理的、?shí)際的情景，通過設(shè)計(jì)直觀的操作活動(dòng)幫助學(xué)生進(jìn)行抽象歸納。數(shù)學(xué)抽象在教學(xué)中得以落實(shí)不是朝夕之功，需長期的研究和探索。
