雖說近代中國對(duì)于世界數(shù)學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)很有限，但是時(shí)間要是往前倒退一千幾百年，古代中國的數(shù)學(xué)成就是絕對(duì)可以屹立很久的。
《九章算術(shù)》這本書堪稱我國數(shù)學(xué)發(fā)展上的史記，這本書繼承了之前所有的數(shù)學(xué)成就，并將許多種問題歸類，形成一本非常實(shí)用的應(yīng)用題集。對(duì)于關(guān)于球的體積計(jì)算公式，這里也提到一個(gè)。
《九章算術(shù)》里球體積的計(jì)算公式
你沒有看錯(cuò)，作為一個(gè)球體的體積計(jì)算公式，這個(gè)公式里居然沒有π的身影，因?yàn)檫@個(gè)公式是古人通過實(shí)測得到的！現(xiàn)在看來的確很荒誕，可是那個(gè)時(shí)候的人們的數(shù)學(xué)能力實(shí)在有限，就算有懷疑也僅僅是直覺上的，很難提出確鑿證據(jù)，更別說改正這個(gè)公式了。
劉徽
魏晉時(shí)期，我國誕生了一位非常偉大的數(shù)學(xué)家劉徽，如果不算20世紀(jì)，那么劉徽絕對(duì)是中國歷史上成就最高的數(shù)學(xué)家。他的研究非常廣泛，幾乎涉及到古代中國所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，建立了分?jǐn)?shù)，方程理論，對(duì)割圓術(shù)有著比較深入的研究，他第一個(gè)求出了較為精確的π值。劉徽有兩本著作流傳于世，對(duì)后世影響極大，幾乎成為了一千多年學(xué)習(xí)算術(shù)學(xué)的官方教科書。這就是《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》。在《九章算術(shù)注》里，劉徽正式提出了對(duì)上面計(jì)算公式的質(zhì)疑。
這里劉徽構(gòu)造了一個(gè)特殊的結(jié)構(gòu)體，“牟合方蓋”。
兩個(gè)底面直徑相同的圓柱體正交，公共的部分剝離出來，這個(gè)就是牟合方蓋。
牟合方蓋
這個(gè)立體構(gòu)造出來之后，我們發(fā)現(xiàn)，如果用一組平行與地面的面去截這個(gè)立體，橫截面都是正方形，并且這個(gè)正方形剛好外接與某個(gè)球體在同一高度的橫截面。這段話有點(diǎn)抽象，用下面的圖形來表示。（這個(gè)圖實(shí)在不好畫，就直接在網(wǎng)上找了）
劉徽這個(gè)時(shí)候其實(shí)已經(jīng)知道了內(nèi)接圓和外接正方形的面積是4：π，換句話說，這個(gè)牟合方蓋的體積與內(nèi)切球的體積比也是4：π。如果劉徽可以計(jì)算出牟合方蓋的體積，那么球的公式就肯定能得到了。然而劉徽沒有能夠再前進(jìn)一步，因?yàn)槟埠戏缴w的構(gòu)造方式雖然很簡單，僅僅讓兩個(gè)等寬的圓柱體正交即可，但是要求出這公共部分卻是很難的，至少在當(dāng)時(shí)已經(jīng)有了數(shù)學(xué)理論上。雖然劉徽沒有跨進(jìn)最后一步，但是他提出的這個(gè)牟合方蓋的構(gòu)造體卻是極為正確的，這個(gè)方向沒有問題。劉徽通過對(duì)這個(gè)牟合方蓋體積的大致估算，也徹底否定了《九章算術(shù)》里原來的球體積計(jì)算公式。
祖沖之
祖暅
接下來總要有人來計(jì)算出正確的公式吧，這就要求著必須要有一套新的方法才能奏效。于是又過了兩三百年，故事發(fā)生在祖氏家族。老爹祖沖之當(dāng)然是聞名遐邇，應(yīng)該算是一個(gè)著名的計(jì)算大師，那個(gè)圓周率小數(shù)點(diǎn)后7位的成就可不是蓋的。這里，我們要說的是他兒子，祖暅。他們父子都是數(shù)學(xué)家，祖暅最著名的貢獻(xiàn)就是祖暅原理。這里，摘取一下原理的精義：
“緣冪勢(shì)既同，則積不容異?！?/strong>
古人真是惜字如金，翻譯過來就是：如果兩個(gè)物體的截面積和高始終相等，那么體積也是相同的。
上個(gè)圖就一目了然。
很明顯左邊這是一摞書垂直擺放的狀態(tài)，右邊是逐步傾斜的擺放狀態(tài)。我們可以想象，平行的面去截這摞書，每次的截面都是書頁的大小，很明顯，這兩種擺放狀態(tài)下，截面積總是相等的，高當(dāng)然也是相等的。因?yàn)檫@根本就是一摞書的兩種擺放狀態(tài)而已，體積當(dāng)然也是相等的。那么我們?cè)倥e一個(gè)一般的例子，左右完全是兩個(gè)不同的物體，但是也滿足祖暅原理的要求，這個(gè)時(shí)候體積就不見得是那么好比較了。
祖氏父子構(gòu)造出的兩個(gè)等體積物體
我們把祖沖之父子的推導(dǎo)過程擺上來。
祖暅原理推導(dǎo)出球體積公式
由此，祖氏父子終于得到了正確的球體積公式，終于彌補(bǔ)了劉徽未盡的事業(yè)。
這里算是我國古代數(shù)學(xué)關(guān)于極限思想的又一次先驅(qū)體現(xiàn)，雖然，祖氏父子在著作中絲毫沒有提到極限二字，然而這個(gè)原理背后的微積分雛形卻相當(dāng)明顯。如果用現(xiàn)在微積分的思想去考慮，祖暅原理其實(shí)就是下面這個(gè)式子：
祖暅原理 微積分表示
在橫截面積已知的情況下，我們逐步去求高度的微分，如果能夠得出解析式那就直接積分就可以到公式。假如高度的微分不容易得到，我們也可以分段來求微分，最后合并到一起去求積分即可。
利用祖暅原理可以求一些復(fù)雜物體的體積，求解過程的關(guān)鍵在于，如何去構(gòu)造一個(gè)體積已知的物體，使得與所求物體橫截面相同，高也相同。我相信，祖氏父子經(jīng)過了無數(shù)次試驗(yàn)才最終構(gòu)造了半球和被挖圓柱的例子。
當(dāng)然了，現(xiàn)在有很多種方法都可以得到球體積的公式，甚至任何規(guī)則曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的物體體積都是可以很輕松計(jì)算出來：
曲線繞軸旋轉(zhuǎn)形成的物體
曲線繞軸旋轉(zhuǎn)得到的體積公式
如果要計(jì)算球的體積公式，那么只要把圓的方程曲線代入到上面的公式里，直接就可以得到結(jié)果。
祖暅原理在世界上也領(lǐng)先了許多年，大約17世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里才提出類似的成果，算起來也比祖沖之父子的時(shí)代晚了1100多年。
老爹算圓周率，兒子算球體積，反正這對(duì)父子數(shù)學(xué)家真是跟圓有莫大的緣分啊。我又想起了歐拉和老師伯努利的故事，在學(xué)術(shù)研究上，沒有比父子傳承和師徒傳承更加美好的事情了。
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