1、危機(jī)的出現(xiàn)
說(shuō)到第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，就不得不說(shuō)一下畢達(dá)哥拉斯這個(gè)人。
畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，約公元前580年~約前500(490)年)古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，尤其對(duì)幾何有著深入的研究。他曾到意大利南部宣傳他的思想，并且和他的信徒們成立了一個(gè)學(xué)派，叫做畢達(dá)哥拉斯派。這個(gè)學(xué)派有著許多先進(jìn)的地方，比如倡導(dǎo)男女同等受教育權(quán)利。該學(xué)派有一條被當(dāng)時(shí)公認(rèn)為正確的信仰條例：一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比。這句話的意思，按現(xiàn)在的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是數(shù)只分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，排除了無(wú)理數(shù)。但其實(shí)現(xiàn)在我們知道有無(wú)理數(shù)的存在。
恐怕有人要問(wèn)：如果一直不出現(xiàn)無(wú)理數(shù)，不就不會(huì)出現(xiàn)這次數(shù)學(xué)危機(jī)嗎？起初這個(gè)無(wú)理數(shù)是怎么產(chǎn)生的呢？其實(shí)說(shuō)起這個(gè)問(wèn)題，只能說(shuō)畢達(dá)哥拉斯派是搬起石頭砸了自己的腳。畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)定理，也就是我國(guó)早就出現(xiàn)的勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。當(dāng)時(shí)他的學(xué)派中的一個(gè)成員叫希帕索斯，就考慮了一個(gè)到了問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少？拿到現(xiàn)在來(lái)說(shuō)就是根號(hào)2，可是在當(dāng)時(shí)根號(hào)2是從未出現(xiàn)過(guò)的數(shù)。而且這個(gè)數(shù)無(wú)法用整數(shù)或者整數(shù)之比來(lái)表示，這與畢達(dá)哥拉斯派的信仰起了沖突。
由此，數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生了。
2、數(shù)學(xué)危機(jī)的解決
一般出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況，有兩種解決方法：一個(gè)是內(nèi)部的，就是以原始條件的正確性出發(fā)，從而解決現(xiàn)有的問(wèn)題；另一個(gè)外部的，就是以原始條件的錯(cuò)誤性出發(fā)，提出新的成立條件，這樣問(wèn)題也能解決。
很顯然，在這個(gè)問(wèn)題里，第一種方法已經(jīng)無(wú)法用來(lái)證明根號(hào)2究竟是哪個(gè)整數(shù)或者哪兩個(gè)整數(shù)的比值。所以當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家采取了第二種方法，通過(guò)擴(kuò)充數(shù)系的方法來(lái)合理解決了這一危機(jī)。于是，數(shù)從原始的有理數(shù)域擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)域，實(shí)數(shù)包括了有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。根號(hào)2就是屬于無(wú)理數(shù)中的一個(gè)數(shù)，用一種新方法來(lái)表示：√￣ 。
由此，在一條數(shù)軸上，也能夠用實(shí)數(shù)把所有的點(diǎn)代表的數(shù)字都表示出來(lái)。
數(shù)系的擴(kuò)充以后還會(huì)講到，并不是簡(jiǎn)單的擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)就結(jié)束了。
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