| 走進(jìn)數(shù)學(xué)猜想 | ||||||||||||||||||
| 『 作者：計(jì)旭勤 | | ||||||||||||||||||
| 摘 要：本文針對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂過(guò)分注重演繹、推理，過(guò)分強(qiáng)調(diào)形式、邏輯的弊端，提出什么是猜想。探討了猜想在教學(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用。在教教學(xué)模式和學(xué)法指導(dǎo)等方面，分析了教猜想、學(xué)猜想的條件和要求。 關(guān)鍵詞：猜想、數(shù)學(xué)猜想 著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞呼吁數(shù)學(xué)教學(xué)既要教證明，又要教猜想。這對(duì)數(shù)學(xué)教育有很重要的指導(dǎo)價(jià)值。為了適應(yīng)當(dāng)今社會(huì)發(fā)展的需要，數(shù)學(xué)教育要發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，教學(xué)中就必須要有猜想教學(xué)的地位，這一點(diǎn)務(wù)必引起我們的重視。 在新課程標(biāo)準(zhǔn)華東師大版數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材介紹中，提到了教材的一個(gè)特點(diǎn)――探索性。要求教師組織學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象開(kāi)展觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想、歸納，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，主動(dòng)獲取新知，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。本人認(rèn)為其中重要的一個(gè)環(huán)節(jié)就是數(shù)學(xué)猜想。 一、正確認(rèn)識(shí)猜想是數(shù)學(xué)猜想的關(guān)鍵一步 1、弄清概念：什么是猜想？ 猜想是對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類(lèi)比、歸納等，依據(jù)已有的材料知識(shí)做出符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維方法。人們認(rèn)識(shí)事物是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，往往需要經(jīng)歷若干階段才逐漸從現(xiàn)象認(rèn)識(shí)到事物的本質(zhì)。開(kāi)始只能根據(jù)已有的部分事實(shí)及結(jié)果，運(yùn)用某種判斷推理的思維方法，對(duì)某類(lèi)事實(shí)和規(guī)律提出一種推測(cè)性的看法。這種推測(cè)性的看法就是猜想。因此，數(shù)學(xué)猜想就是指依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)未知量及其關(guān)系所出的一種似真推斷。 2、猜想的特點(diǎn) 猜想具有真實(shí)性、探索性、靈活性和創(chuàng)造性等基本特點(diǎn)。猜想是人們依據(jù)事實(shí)、憑借直覺(jué)所做出的合情推測(cè)，是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)中，任何一個(gè)定理，只要不是其他數(shù)學(xué)定理的直接推論，就可以經(jīng)過(guò)猜想而建立起來(lái)。猜想有一定的事實(shí)根據(jù)，不受現(xiàn)存事實(shí)的束縛。猜想包含著以事實(shí)作為基礎(chǔ)的可貴的想象成分。一個(gè)猜想越大膽，它所包含的想象成分就越多。 3、猜想與論證推理的區(qū)別與聯(lián)系 數(shù)學(xué)猜想就是數(shù)學(xué)中的合情推理，波利亞反復(fù)指出：數(shù)學(xué)中有“論證推理和合情推理”兩種推理，它們是思維的兩種形式、兩個(gè)方面，它們之間并不矛盾，在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明過(guò)程中是起交互作用的。在嚴(yán)格的推理之中，首要的事情是區(qū)別證明與推測(cè)，區(qū)別正確的論證與不正確的嘗試；而在合情推理中，要區(qū)別理由較多的推測(cè)與理由較少的推測(cè)。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)猜想是合情的推理，而不是不合理的亂猜。 4、猜想的分類(lèi)和實(shí)現(xiàn)途徑 浙江師大任樟輝先生把猜想分為如下五種形式：①類(lèi)比性猜想；②歸納性猜想；③探索性猜想；④仿造性猜想；⑤審美性猜想。 至于猜想的實(shí)現(xiàn)途徑，它們可能是探索試驗(yàn)、類(lèi)比、歸納、構(gòu)造、聯(lián)想、審美以及它們之間的組合等。數(shù)學(xué)猜想是有一定規(guī)律的，如類(lèi)比的規(guī)律、歸納的規(guī)律等，并且要以數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為支柱。實(shí)施猜想前，請(qǐng)記住“在證明一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之前，你先得猜想這個(gè)問(wèn)題的內(nèi)容；在你完全做出詳細(xì)證明之前，你先得猜想證明的思路”。 二、猜想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們也可以引導(dǎo)學(xué)生大膽地猜想，使學(xué)生在學(xué)好知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展能力，教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生猜想有著很重要的意義： 1、有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力 興趣是學(xué)習(xí)的最好老師，一個(gè)學(xué)生當(dāng)他對(duì)某個(gè)學(xué)科感興趣時(shí)，他就會(huì)積極思考，想方設(shè)法地去解決本學(xué)科所遇到的所有問(wèn)題，所以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性是每一位教師必須做到的。如在教授韋達(dá)定理時(shí)，教師不是直接把定理的內(nèi)容告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生每人寫(xiě)出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，只要學(xué)生說(shuō)出這個(gè)方程的兩個(gè)根，教師就會(huì)馬上“猜出”這個(gè)方程，學(xué)生個(gè)個(gè)稱(chēng)奇，迫不及待地問(wèn)老師有什么“訣竅”，這時(shí)教師就可以作必要的講解：“因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為1，所以老師只要猜出一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，就可以得出方程，而這兩個(gè)數(shù)的得出依靠的是你們提供的兩個(gè)根。這說(shuō)明一元二次方程根與系數(shù)之間存在關(guān)系”，然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜出這些關(guān)系，并舉例進(jìn)行驗(yàn)證，學(xué)生很快就能得出規(guī)律。接著再指導(dǎo)學(xué)生“猜出”二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)的根與系數(shù)的關(guān)系。從而順理成章地得出定理。 這樣既克服了枯燥地把知識(shí)介紹給學(xué)生，而且也可以讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一件很有趣的事，長(zhǎng)期這樣訓(xùn)練，學(xué)生就在不自覺(jué)中喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)的動(dòng)力就會(huì)提高。 2、有利于更為透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí) 數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往只注重了知識(shí)的表層，或者去死記知識(shí)，這樣在運(yùn)用知識(shí)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)“我知道這個(gè)內(nèi)容，但就是不會(huì)用它來(lái)解題”這樣的問(wèn)題，所以在教學(xué)中，教師必須想方設(shè)法地讓學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，并掌握這些知識(shí)。而在講解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，不是直接告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生逐步地猜想這些知識(shí)，不失為是一個(gè)事半功倍的好辦法。 比如在講冪的乘方時(shí)，先讓學(xué)生做以下練習(xí)。 試一試 根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的乘法填空。 有部分學(xué)生在做完后，就馬上發(fā)現(xiàn)了一種規(guī)律：只要將兩個(gè)指數(shù)相乘，而底數(shù)不變。教師馬上提問(wèn)： 數(shù)學(xué)課本中的很多定理和方法，并不是由純邏輯的演繹推理得到的。絕大多數(shù)是由為數(shù)不多的特例，通過(guò)觀察、歸納、猜想，最后才是給出證明。教師在講授這些結(jié)論時(shí)，不要先把結(jié)論拋給學(xué)生，可同學(xué)生一起參與歸納猜想。反之，如果教師直接將這些結(jié)論拋給學(xué)生，學(xué)生就會(huì)感到很突然，而通過(guò)歸納猜想得出結(jié)論就顯的很自然。當(dāng)然這樣的猜想，還要引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證。 又比如在講解圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，教師可以給大家演示兩個(gè)圓由遠(yuǎn)到近的移動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生觀察它們位置的變化，由此猜想出它們大概有幾種位置，然后讓大家討論各自猜想的依據(jù)，他們很快就會(huì)得出：位置是由交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定的，沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)是相離、一個(gè)交點(diǎn)時(shí)是相切、二個(gè)交點(diǎn)時(shí)是相交。然后教師繼續(xù)啟發(fā)：交點(diǎn)相同時(shí)有沒(méi)有不同之處，怎么樣區(qū)分？學(xué)生很快就會(huì)得出：不同點(diǎn)主要是除交點(diǎn)外，大圓和小圓分開(kāi)還是包含。那么相離又可以分為外離和內(nèi)含、相切可以分為外切和內(nèi)切。雖然敘述的語(yǔ)言并不十分準(zhǔn)確，但圓與圓的五種位置關(guān)系給出的非常清楚，學(xué)生理解的也更為透徹。 一位數(shù)學(xué)教育家曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程就是濃縮的數(shù)學(xué)發(fā)展史的過(guò)程，所以教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，這樣才符合教學(xué)規(guī)律，才更有利于學(xué)生的發(fā)展”。 3、有利于更快捷地尋找解題思路 例如：已知： 分析：按通常的解法，要代入即可求值。但是由于數(shù)字太大，計(jì)算就非常繁瑣，因此，我們?cè)囍褦?shù)字變小，尋找其規(guī)律： 當(dāng) 當(dāng) …………………………………………… 由此可以猜出： ∴ 當(dāng)然這樣的猜想，也還要引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證。 顯然，猜想在本題中起了很重要的作用。這樣的例子還很多，如因式分解中的十字相乘法，也是用猜想解題的一個(gè)很明顯的例證。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生去大膽地猜想結(jié)論、猜想規(guī)律、大膽地猜想解法，然后再去驗(yàn)證。使學(xué)生在不斷地猜想和驗(yàn)證過(guò)程中，掌握和豐富數(shù)學(xué)知識(shí)。 4、有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識(shí) 真正的學(xué)習(xí)存在于發(fā)現(xiàn)或解決問(wèn)題的過(guò)程，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、猜想、論證的應(yīng)用，可以達(dá)到發(fā)展智力和提高解決問(wèn)題能力的目的。 例如：觀察下列圖形并填空。
分析：我們也試著把個(gè)數(shù) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 由此可得出： 在課堂上，教師就是這樣指導(dǎo)學(xué)生得出此結(jié)論。但有個(gè)別學(xué)生結(jié)合這個(gè)結(jié)論，得出另一種看法： 觀察圖形，一個(gè)梯形中，上底+下底=3，則n個(gè)梯形中，上底+下底=3n，所以周長(zhǎng)為3n+2。 三、讓數(shù)學(xué)猜想走進(jìn)課堂 探索培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，但真正能做到展示知識(shí)的生動(dòng)發(fā)生過(guò)程的，惟有讓學(xué)生參與猜想。要真正體現(xiàn)學(xué)生的主體性，就必須使學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程，教學(xué)中必須滲透“猜想＋證明”的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的科學(xué)思維。數(shù)學(xué)教師必須發(fā)揮自己的聰明才智，總結(jié)當(dāng)前好的教學(xué)模式，探索出符合培養(yǎng)猜想能力的教學(xué)模式。如張思明先生探索的“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式，就體現(xiàn)出猜想的勃勃生機(jī)。 為了教學(xué)生猜想，新知教學(xué)時(shí)，要設(shè)計(jì)猜想的情景，不把新知直接告訴學(xué)生。要經(jīng)常設(shè)計(jì)一些找規(guī)律的題給學(xué)生做。 如按規(guī)律填數(shù)：11，21，41，71，111， ，221。 由幾個(gè)有共同特點(diǎn)的計(jì)算式子找一般的結(jié)論： 學(xué)生提出猜想后，要組織評(píng)析與驗(yàn)證，鼓勵(lì)交流猜想的思維過(guò)程，鼓勵(lì)標(biāo)新立異提出不同的猜想。 營(yíng)造寬松的、良好的猜想氛圍。教師不必去限制學(xué)生思維的疆域，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，不迷信已有結(jié)論，不滿(mǎn)足現(xiàn)成解答，大膽猜想，不斷開(kāi)拓。教師應(yīng)隨時(shí)點(diǎn)燃學(xué)生猜想的導(dǎo)火線(xiàn)，甚至教師本身直接成為學(xué)生猜想的導(dǎo)火線(xiàn)。猜想合理的進(jìn)行鼓勵(lì)，猜想偏向的進(jìn)行引導(dǎo)，不猜想的進(jìn)行鞭策，讓猜想“訪(fǎng)問(wèn)”每一位學(xué)生，使學(xué)生的被動(dòng)的猜想行為轉(zhuǎn)變成自覺(jué)的猜想行為，師生共同構(gòu)建數(shù)學(xué)猜想共同體。 四、幾點(diǎn)思考 數(shù)學(xué)猜想并不是要取消“邏輯證明、演繹推理”，而是針對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂中“重形式淡過(guò)程、重知識(shí)淡能力、重證明淡猜想”的教學(xué)弊端，竭力要讓猜想占有適當(dāng)?shù)奈恢谩?/span> 當(dāng)然，猜想也有局限性，特別是低年級(jí)學(xué)生，容易不加思考地亂猜，這就需要教師正確地引導(dǎo)，逐步培養(yǎng)他們?cè)诖竽懖孪氲耐瑫r(shí)，養(yǎng)成驗(yàn)證的習(xí)慣?？傊孪胧菙?shù)學(xué)思想的一個(gè)重要組成部分，也是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)積極提倡的一種教學(xué)手段之一，值得我們研究、探討和運(yùn)用。 正因?yàn)闅v史上有諸如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬猜想等猜想的提出，數(shù)學(xué)科學(xué)才發(fā)展為今天壯觀的現(xiàn)代數(shù)學(xué)。沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)！ |
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