一．隨機現(xiàn)象的數(shù)學描述
客觀世界中所發(fā)生的各種現(xiàn)象，可以劃分為兩種截然不同的形式。其一是確定性形式，即人們知道某事物開始的原因后就可以明確的預知它的結果。在數(shù)學史上，17世紀以前的數(shù)學都是研究這種確定性的形式，人們也稱之為必然性研究的數(shù)學。其二是隨機性形式，即人們不能確定某些現(xiàn)象是否會出現(xiàn)，人們稱之隨機現(xiàn)象。
17世紀以前，在當時人么數(shù)學思維的范圍之內(nèi)還無法對隨機現(xiàn)象給出一種確切的表述。但是，作為現(xiàn)實世界存在的問題，隨機現(xiàn)象卻廣泛地存在著。
隨機現(xiàn)象是這樣一類現(xiàn)象：在一定地條件下可能出現(xiàn)某種結果，也可能不出現(xiàn)這種結果。這樣的結果，叫做隨機事件。在隨機事件中，因果關系不存在著確定性的必然聯(lián)系。例如，投擲一枚硬幣，它在落地時可能出現(xiàn)正面向上，也可能出現(xiàn)反面向上。
在確定的現(xiàn)象中，只要條件具備，某種結果就必然發(fā)生。對這種條件與結果之間的必然性聯(lián)系，確定性的數(shù)學給出了比較完善的描述。例如微分方程在定量描述某種確定現(xiàn)象的運動和變化時，只要建立起微分方程，給定問題的初始條件，就可以通過求解微分方程預知在未來某時刻的運動狀態(tài)。
顯然在隨機現(xiàn)象中，確定性的數(shù)學無法表述條件與結果之間那種非必然性聯(lián)系。當你投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣時，要想預先計算落地后哪一面朝上是不可能的。
雖然對于隨機現(xiàn)象，表面上是沒有規(guī)律可循的，但是認真研究起來，就會發(fā)現(xiàn)當同類隨機現(xiàn)象大量重復出現(xiàn)時，人們就會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性。例如，你投擲一次硬幣時，正面或反面出現(xiàn)是毫無規(guī)律的，但是當你多次重復地投擲一枚質(zhì)量均勻地硬幣時，就會出現(xiàn)正面的次數(shù)與總投擲數(shù)之比總是在1/2左右擺動，而且隨著投擲次數(shù)的增加，這個比率越來越接近1/2。
在物理學中，在一個充有氣體分子的容器中，單個分子的運動速度和方向是隨機的，每個分子對器壁的壓力也是隨機的。但是，大量氣體分子的運動對器壁的壓力在總體上卻呈現(xiàn)出一種規(guī)律性。同樣，火災，保險等事件中，每個事件的發(fā)生都是隨機的，但從大量的長時間的數(shù)據(jù)統(tǒng)計中就會發(fā)現(xiàn)它們呈現(xiàn)出一些規(guī)律性。
大量的同類現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的這種規(guī)律性，使人們獲得了一種數(shù)學可能，即從這種大量出現(xiàn)的隨機想象的統(tǒng)計規(guī)律來推斷整個對象系統(tǒng)具有的性質(zhì)和特征。顯然，這是一種不同于以往的數(shù)學思維方式，由此產(chǎn)生了一門新的數(shù)學分支------概率論。
二．概率論的數(shù)學思維方法
隨機現(xiàn)象的研究有它深遠的歷史原因，歐洲文藝復興之后伴隨工業(yè)發(fā)展提出誤差問題，伴隨著航海事業(yè)發(fā)展產(chǎn)生天氣預報問題，伴隨著商業(yè)發(fā)展產(chǎn)生貿(mào)易，股票，彩票以及銀行業(yè)，保險業(yè)方面的問題等，人們急需一門分析隨機現(xiàn)象的科學學科。但是由于隨機現(xiàn)象的研究與以往數(shù)學思維的研究對象，研究方法的巨大差異，使當時的數(shù)學理論很難派上用場。然而，隨機現(xiàn)象的研究卻借助于博彩問題中的概率模型逐漸發(fā)展起來了。
數(shù)學史上把1654年數(shù)學家帕斯卡和費馬通信研究的賭博問題看作是概率論最早的文獻。其中最有名的“賭注分配問題”，給出了概率論中有關隨機現(xiàn)象的最初的數(shù)學表述。
作為推動隨機現(xiàn)象研究發(fā)展的最大社會動力來源于社會保險業(yè)的需要。17世紀西方工業(yè)和商業(yè)的大發(fā)展，使社會保險業(yè)應運而生。因為保險公司需要知道各種突發(fā)意外事件如水災，火災，意外死亡等出現(xiàn)的概率，以便確定自己的理賠金額和保險金額。由于概率的思想與方法在保險理論，人口統(tǒng)計，財政預算，產(chǎn)品抽樣檢驗中有著廣泛的應用，于是這個有賭博問題開始的有關隨機現(xiàn)象問題的數(shù)學研究，迅速發(fā)展成為一門十分活躍的數(shù)學分支。
概率論發(fā)展的最重要的思想是如何認識在隨機現(xiàn)象之后的統(tǒng)計規(guī)律性。以往的確定性的數(shù)學沒有遇到過這一類問題，所以在概率論研究的開始階段，人們把簡單的隨機現(xiàn)象對應于機會游戲的數(shù)學模型進行研究。但是隨著對隨機現(xiàn)象研究的深入，人們開始逐漸地認識到隨機現(xiàn)象復雜地模型結構。經(jīng)過許多數(shù)學家地努力，有關隨機現(xiàn)象地研究取得了一系列地結果。
從19世紀末開始，隨著生產(chǎn)和科學技術中概率問題的大量出現(xiàn)，概率論得到迅速發(fā)展，并不斷派生出一系列新的分支。早期概率中的概率計算主要使用排列組合的計算方法，并將得到的結果給予概率解釋。1933年后，數(shù)學家提出了概率論公理化體系，使概率論植根于集合論，測度論和實變函數(shù)論中。目前，作為隨機現(xiàn)象的研究已經(jīng)具有眾多的數(shù)學分支，并且都有著各自的數(shù)學理論。隨著隨機現(xiàn)象研究的不斷發(fā)展，隨機現(xiàn)象的數(shù)學思維及其方法在自然科學和社會科學中的應用越來越廣泛。
三．偶然性與必然性的數(shù)學思維
概率論出現(xiàn)之前，數(shù)學研究的對象，數(shù)學表述的方式，都是確定意義上的數(shù)量關系和空間結構形式。因此有人認為，概率論之前數(shù)學的思維方式嚴格地自覺地限定在確定性地范疇之內(nèi)。從這種意義上來說，概率論作為一種思維方法，是數(shù)學發(fā)展史的一種飛躍，因為它跨出了數(shù)學表述，計算，解釋的確定性的領地。
事物間的關系，有必然性也有偶然性。以往的數(shù)學只研究必然性現(xiàn)象中的因果關系。而概率論卻是從一種偶然現(xiàn)象------隨機現(xiàn)象中來說明事物發(fā)展變化的規(guī)律。從數(shù)學思維方法的意義來分析，數(shù)學中的概率論是一種從數(shù)量上研究偶然性，從而在考察偶然性因素的變化和影響中，尋找表達必然性的，本質(zhì)性數(shù)量關系的思維方式。
概率論作為揭示偶然性與必然性關系的一種數(shù)學分支，它的產(chǎn)生，發(fā)展自然就涉及人們對客觀世界中必然規(guī)律與偶然現(xiàn)象的關系的理解。由于歷史的原因，當時的人們對機械決定論的觀念十分相信，因此他們只承認必然性，否定偶然性，這其中最有代表性的人物應屬18世紀大數(shù)學家拉普拉斯。拉普拉斯是概率論發(fā)展的集大成者，他的著作《分析概率論》是概率論中繼往開來的重要著作，這部著作總結了前人的工作和他自己四十年間的研究成果，對后世的概率論發(fā)展有著重大的影響。但是，拉普拉斯是一個機械決定論者，他認為世間萬物的發(fā)展變化都是必然，前定的。偶然現(xiàn)象是人們認識不完全產(chǎn)生的，一旦認識全面，知識增強，一切偶然都將化為必然。拉普拉斯認為，概率從根本上并不反映事物的本質(zhì)，是一種處理事件的近似工具而已。
可以認為，概率論的思維方式，大大地推進了人們對隨機現(xiàn)象的認識，從而也推動了人們對必然規(guī)律和偶然現(xiàn)象的認識。必然性和偶然性是不可分開的，人們正是通過偶然性的變化趨勢，變化規(guī)律來理解它的必然性的本質(zhì)。
對于隨機現(xiàn)象的研究而言，概率論提供的數(shù)學思維方式，在兩個方面有著重要的意義。
第一，隨機現(xiàn)象的研究，推動了原有的必然性數(shù)學理論的發(fā)展。因為隨機性數(shù)學所使用的方法主要是確定性的數(shù)學方法，隨機性數(shù)學研究內(nèi)容的擴展和成功，也使確定性數(shù)學向隨機化發(fā)展，隨機微分方程，隨機積分方程等陸續(xù)誕生。20世紀以來，快速發(fā)展的隨機性數(shù)學，已被看作是數(shù)學史上重要的里程碑。
第二，隨機現(xiàn)象的研究，對隨機現(xiàn)象的數(shù)學描述，使人們對世界發(fā)展變化的客觀規(guī)律有了深入的理解。無論是自然科學還是社會科學，人們對隨機現(xiàn)象的偶然性特征的理解，已經(jīng)超出了原有的思辨層次，進入到數(shù)學形式的定量描述。隨機現(xiàn)象的數(shù)學研究，為自然科學提供了一種描述隨機現(xiàn)象的數(shù)學工具，同時隨機現(xiàn)象的數(shù)學描述為社會科學認識事物發(fā)展的規(guī)律提供了一種新的定量化思維方式。社會科學的許多現(xiàn)象都呈現(xiàn)隨機性，如何在這種隨機的偶然之中尋找其中的必然性的本質(zhì)特征，如何在隨機的偶然性之中分析事物未來的發(fā)展規(guī)律，這正是隨機現(xiàn)象研究的思維方法對社會科學的重大貢獻。
