正交矩陣
如果n階方陣A及A的轉(zhuǎn)置矩陣A'滿足
其中E為單位矩陣，則稱A為正交矩陣。
n階正交矩陣A具有如下性質(zhì)：
(1)A是可逆矩陣，且
(2)A-1和A'也是正交矩陣;
(3)對于任意n維列向量X，AX保持向量X的長度，即
即正交矩陣乘以一個維數(shù)與它階數(shù)相同的列向量仍然得到一個同樣維數(shù)的列向量，新向量的模跟原來向量的模一樣。(4)對于任意n維列向量X和Y，AX和AY保持向量X和Y的內(nèi)積，即這意味著，兩個向量分別乘以同一正交矩陣，得到的兩個新向量的夾角與原來兩向量的夾角相等。
(5)
正交變化是指保證變換前后向量內(nèi)積不變的線性變換。 正交變換包括旋轉(zhuǎn)、反射、恒等變換以及它們的組合。 由正交矩陣的性質(zhì)可知，正交矩陣可以表示正交變換，即正交矩陣乘以一個列向量后得到與原來的向量長度相等的新向量，且正交矩陣分別乘以任意兩個向量，得到內(nèi)積與原來的兩個向量內(nèi)積(夾角)相等的兩個新向量。 前面介紹過四元數(shù)共軛操作(四元數(shù)運算表示三維空間點旋轉(zhuǎn))以及羅德里格斯公式都可以表示空間旋轉(zhuǎn)，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)可知，也可以用正交矩陣與列向量的乘法表示旋轉(zhuǎn)。此外n階正交矩陣的所有列(行)向量還是n維向量空間中的一個規(guī)范正交基，可用于空間中所有其他向量的展開。
