——數(shù)學學科素質(zhì)教育初探
王俊邦（北京教育學院宣武分院）
《中國教育改革和發(fā)展鋼要》指出：“中小學要由‘應試教育’轉(zhuǎn)向全面提高國民素質(zhì)的軌道?！币驗閷W生在校內(nèi)的絕大部分時間是在課堂上，所以課堂教學應是對學生進行素質(zhì)教育的主渠道。這就是說，把素質(zhì)教育深入到課堂教學中，深入到每個學科是每個教師都應重視、研究和探索的課題。素質(zhì)教育的結(jié)構(gòu)是復雜的，內(nèi)容是多方面的，但素質(zhì)教育有一個總的指導思想——關(guān)注人的全面發(fā)展。
1.3.1 數(shù)學“應試教育”存在的問題
(一)重理論輕應用
數(shù)學理論是重要的，但輕視它的應用必然降低數(shù)學理論的價值，而且對學生今后的就業(yè)也是不利的。該問題的解決需要數(shù)學教師的努力，但更需要主管教育的領(lǐng)導機關(guān)進行統(tǒng)籌安排。
(二)重“教”輕學
教師講的過多，甚至是很精彩的，并帶有一定的啟發(fā)性，分析問題有條有理，無可挑剔，但是，有很多經(jīng)學生思考便可知道的問題，由于教師的講解，使學生失去了自己思考，自己獲取，自己發(fā)現(xiàn)，自己創(chuàng)造的鍛煉的機會。這就是說，使學生失去了發(fā)展能力的機會。對基礎(chǔ)教育而言，這應該是一個嚴重的問題。
由于重“教”輕學忽視了學生的參與和思維活動，所以，必然產(chǎn)生以下問題：
1．學生的非智力因素得不到發(fā)揮；
2．學生的學習行為得不到促進；
3．學生的能力心理結(jié)構(gòu)不易形成和發(fā)展；尤其是學生的創(chuàng)造能力更無從談起了。
總之，重“教”輕學所產(chǎn)生的不良后果是嚴重的，日久天長學生便對數(shù)學產(chǎn)生了厭煩情緒。
(三)重結(jié)果輕過程
以統(tǒng)考成績來衡量一個教師的教學狀況，這有一定的道理。但是，只看分數(shù)不看教學過程，這種看問題的方法是片面的，正饒看法應該是既看結(jié)果又看過程。符合學生認知規(guī)律的教學過程，必然產(chǎn)生好的結(jié)果。這里所說的結(jié)果不僅包括高分數(shù)，而且包括能力的形成和良好的個性品質(zhì)。這就是說，在這種高分數(shù)中包含了對學生終身有益的成份。
重過程與輕過程，究竟哪個能得到好的結(jié)果呢?我們不妨把結(jié)果只限制在考試分數(shù)上，一般講，重過程的要高于輕過程的。這里所說的“過程”是符合學生認知規(guī)律的過程。因為“應試教育”片面追求分數(shù)結(jié)果而違背學生的學習規(guī)律，故其結(jié)果必將事與愿違。而素質(zhì)教育是通過科學地認知過程，以發(fā)展學生能力提高素質(zhì)為目標的，故其結(jié)果必然是“水到渠成”。實際上，素質(zhì)教育所說的結(jié)果與“應試教育”所說的結(jié)果其內(nèi)涵是不一樣的。
(四)重“題海”輕提煉
留大量的課外作業(yè)或在課堂上反復講解大量難題也可能得到高分，但這種高分只不過是一種暫時現(xiàn)象，因為缺乏學生自己的歸納提煉，在這種高分中，能力因素含量較低，時間一長便失去了實際意義。這里面還有更重要的問題，那就是極大地加重了學生的課業(yè)負擔，尤其是初三、高三的學生，他(她)們的睡眠嚴重不足，這對學生的身體是極為不利的。
1.3.2 關(guān)于中學數(shù)學課堂教學的幾點思考
?。?)在學生學習數(shù)學的過程中，人腦并不是被動學習和記錄輸入的信息，而是主動地對輸入的信息進行加工、整理、儲存和提取。由此可知，在數(shù)學教學中，首先應強調(diào)的是學生的主動參與。
(2)知識掌握是有規(guī)律的。從心理學的研究表明，知識的掌握必須有序地經(jīng)歷領(lǐng)會(感知、理解)、鞏固和應用這樣三個相對獨立又彼此相聯(lián)的階段。這里特別注意的是讓學生掌握知識，必須讓學生自己動腦動手親自經(jīng)歷這幾個過程，只靠老師講，學生聽是達不到學生掌握知識這一目的的。有的老師講完概念(或定理)講例題，講完例題再講注意事項，學生的課堂活動極少，教師講完了一切，教師放心了，學生又是如何呢?教師全然不知，這是違背知識掌握原則的。
(3)學生掌握知識的過程，實際上是觀察、分析、對比、綜合、抽象和概括以及推理論證的過程。這就是說，知識、技能和能力是同步增長的。
(4)學生的知識，技能和能力的形成不是一次完成的，需要參加各種交流活動，需要不斷地校正和不斷地完善。所以，交流是校高學生元認知(即對自己認識的認識)水平的重要手段。
(5)教師創(chuàng)設適合學生實際水平的教學 “情景”，引導學生主動建構(gòu)知識，主動練習技能，主動發(fā)展能力是中學數(shù)學課堂教學的核心。
綜上所述，中學數(shù)學教學，教師必須轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的以教師講解為主的教學觀念，大膽地把“ 給予” 變?yōu)橐龑В寣W生由被動接受變?yōu)橹鲃訁⑴c，讓學生充分展示自己，使學生在主動掌握知識的同時掌握技能和發(fā)展能力。
教師教學觀念的轉(zhuǎn)變，首先要體現(xiàn)在教師的作用上。由于數(shù)學對象都是抽象思維的產(chǎn)物，所以，學生的數(shù)學學習應是一種他們自己的思維建構(gòu)活動。如果沒有這種思維建構(gòu)活動，談論數(shù)學教學是沒有任何意義的。所以，認識論指導下的教師作用將不再是“ 發(fā)給真理” ，教師應該是教學“ 情景” 的設計者，引導學生參與的促進者，學生課堂活動的控制者，學生困難的幫助者，學生能力和良好個性品質(zhì)的培養(yǎng)者。這就是說，教師要引導學生學會學習。同時，教師要以身作則，以自己的良好素質(zhì)去影響學生，進而提高學生的素質(zhì)。
以下是筆者提出的教師的十個作用(僅供參考)?！ ?/p>
下面，對每一個作用做一簡單解釋。
尊重：教師尊重學生乃是給學生做了一個尊重別人的榜樣，尊重別人也是尊重自己。如果教師不尊重學生，就會挫傷學生學習的積極性，影響學生非智力因素和智力因素的發(fā)揮，嚴重的會造成學生對教師的抵觸情緒。如果您去聽一位優(yōu)秀教師的課，您的第一印象或感覺會是：這位教師和藹可親，非常尊重學生。尊重學生是了解學生的基礎(chǔ)。
了解：了解學生進而研究學生是實施建構(gòu)理論的基礎(chǔ)，學生原有的認知水平、經(jīng)驗和策略是一切認知活動的基礎(chǔ)。在新的問題面前，學生內(nèi)在的思維建構(gòu)活動，實際上是對原有認知結(jié)構(gòu)的重組和積累，并通過同化和順應建構(gòu)新的認知結(jié)構(gòu)。因為教師創(chuàng)設的問題情境是由舊知識和新問題組合而成的，如果教師不了解學生的現(xiàn)有水平，教師設計的問題情境脫離實際，那么學生的思維建構(gòu)活動就很難進行。所以，了解學生是引導學生進行建構(gòu)活動的基礎(chǔ)。
關(guān)心：教師關(guān)心學生，會使學生感到溫暖，促進其內(nèi)因發(fā)生變化 ，產(chǎn)生積極性，發(fā)生學習行為。尤其是對學習有困難的學生，應在課下給以更多的關(guān)心，了解困難所在，及時地引導他(她)們通過自己的努力解決困難，當解決了一個問題后，要及時地鼓勵和表揚，使他(她)們樹立自信心，產(chǎn)生成功感。關(guān)心學生是情感教育的基礎(chǔ)，也是素質(zhì)教育的一項內(nèi)容。
保護：保護是指保護學生的身心健康和學習的積極性。比如，教師在讓學生回答問題時，學生不一定答的完全正確，可能只答對一半或一部分，這時教師要特別注意的是保護學生的自尊心、積極性，答對的給以肯定和表揚，答錯的要進一步啟發(fā)或鼓勵學生進一步思考，或說一句我相信你經(jīng)過再思考會完全弄清的讓學生坐下，千萬不要指責學生。
要求：嚴格要求學生是指按有關(guān)合理規(guī)定，對學生不符合規(guī)定的行為不放任自流，要耐心引導，讓學生自己修正錯誤。
以上教師的五個作用可歸納為“完善自我，以德育人”。對學生進行素質(zhì)教育，教師首先應具有高的素質(zhì)，教師應以身作則，成為學生的楷模。落實了上面的五個作用，實際上為改進課堂教學建構(gòu)了一個良好的“環(huán)境”。
設計：在了解學生原認知結(jié)構(gòu)和個性品質(zhì)的基礎(chǔ)上，認真?zhèn)湔n，精心設計教學模式是教師起主導作用的重要體現(xiàn)。在課堂上，教師的主要任務是對預先設計好的教案進行落實。課堂教學效果的好壞，教師的教學觀念，課前的“ 設計” 是至關(guān)重要的。
引導：引導學生主動參與，自我建構(gòu)是區(qū)別于傳統(tǒng)教學的重要標志。數(shù)學課堂上的引導是指把學生吸引到舊知識與所要解決的新問題的結(jié)合點附近區(qū)域，指導學生思考各種數(shù)學思維方法，讓學生自己把問題解決。這與傳統(tǒng)教學中以教師講解為主的教學方法是截然不同的。當然，這并不排除教師必要的講解。
幫助：幫助學生解決學習中的困難，幫助學生掌握各種學習方法是對學生最大的幫助。學生掌握了學習方法會終身受益的。學法研究是另一個專題，這里不做介紹。
教師作用中的“ 培養(yǎng)” 與“ 發(fā)展” 是數(shù)學教育的最終目的。這里特別強調(diào)的是：要在學生的參與思維中培養(yǎng)，要在學生的參與思維中發(fā)展。
綜合以上所述，中學數(shù)學教學可用下面的示意圖進行概括：
1.3.3 中學數(shù)學課堂教學模式設計原則
說明：這里只涉及中學數(shù)學課堂教學模式的框架設計，對于一般性和常規(guī)性教學原則，在這里不做闡述。
中學數(shù)學課堂教學模式是在某種理論的指導下，進行教學活動的一個“中介原則”，并具有可操作性。它是教學活動的一個有相對彈性的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，由教師、學生、數(shù)學對象、教學媒體以及這四者的活動方式所構(gòu)成。
不同的教學觀念，有著不同的教學模式。
“應試教育”的教學模式，基本上是教師講解為主，學生被動接受。
認識論指導下的課堂教學模式，應該是教師，學生主動探索，主動獲取知識，主動發(fā)展自己的能力和良好的個性品質(zhì)。由于學生年齡的不同，年級的不同，教學內(nèi)容的不同，學生基礎(chǔ)的不同，教學模式會是多種多樣的。但是，不論設計什么樣的教學模式，必須遵循一個總的原則——全面落實教師的主導作用，真正讓學生主動地參與到思維建構(gòu)活動中去。
前面已經(jīng)提到，教學模式是一個“框架”，這一“框架”是由教師設計的，其“空間”必須讓學生有充分活動的余地。這一“框架”又如一個劇場，起主導作用的是教師，主要“表演者”是學生。筆者認為，傳統(tǒng)教學重在教師的“表演”，學生是“觀眾”，認識論指導下的課堂教學是重在學生的“表演”，教師扮演“導演”角色，起設計、促進、幫助和引導等作用。一節(jié)課，只有學生在教師的引導下，進行了充分和有效地“表演”，學生才能真正在頭腦中構(gòu)造出一個與這節(jié)課相稱的數(shù)學知識“王國”或“數(shù)學網(wǎng)絡世界”?；谝陨险J識，筆者認為，設計中學數(shù)學課堂教學模式可以從以下三個方面進行考慮。
1．符合認識理論
(1)了解學生，研究學生。例如了解學生的知識基礎(chǔ)、能力水平、學習習慣、上課狀況等。(2)創(chuàng)設“問題情境”，吸引學生，讓學生主動思維建構(gòu)。即在學生原有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，讓學生用眼、腦、手、耳、嘴主動探索和發(fā)現(xiàn)，主動獲取新的知識。并從這一探索、發(fā)現(xiàn)、獲取知識的過程中培養(yǎng)和發(fā)展能力。(3)相互交流。①同學間、師生間的課堂交流；課下的各種交流；在教師指導下的作業(yè)交流；(4)知識系統(tǒng)的定期運轉(zhuǎn)和不斷完善。例如，讓學生寫作業(yè)小結(jié)，定期進行階段練習與小結(jié)等。這樣做可以使學過的知識點經(jīng)常閃光，使學生頭腦中知識系統(tǒng)的存入和提取始終處于一種“暢通狀態(tài)”。
2．符合學生的數(shù)學學習規(guī)律
例如，激發(fā)學生的學習動機，調(diào)動學習的積極性；知識掌握規(guī)律；數(shù)學技能和能力的形成規(guī)律；學習的遷移規(guī)律等。
在學生的數(shù)學學習規(guī)律中，最基礎(chǔ)的是激發(fā)學生的學習動機(如理想、信念、興趣、愛好等)，調(diào)動學習的積極性。如果沒有這一基礎(chǔ)，其它的學習規(guī)律就會落空。這里應特別強調(diào)是：要使得學生學習的積極性持久，必須抓好“雙基”，即基本知識、基本技能?！半p基”不好，學習的積極性是不會持久的，培養(yǎng)和發(fā)展學生的創(chuàng)造能力就更談不了。
關(guān)于學生的數(shù)學學習規(guī)律，在這里不做詳細闡述，說一千，道一萬，可用二個字進行概括，即“做”和“悟”。這就是說，學生的數(shù)學學習是學生不斷發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，不斷解題，不斷回顧與反思，不斷系統(tǒng)和概括的過程。
3．符合數(shù)學教學大綱的要求
數(shù)學教學大綱是國家教育部制訂的，我們的教學活動不能違背《大綱》精神，例如，面向全體學生；聯(lián)系實際，培養(yǎng)應用意識；重視知識的產(chǎn)生過程和基本技能訓練，并從中培養(yǎng)能力；教學方法要靈活恰當?shù)鹊取?/p>
綜上所述，《中學數(shù)學課堂教學模式》應該至少具有六個特性。即
整體性————————建構(gòu)空間；
認知科學性——————建構(gòu)過程；
類化性————————建構(gòu)目的。
整體性是指一節(jié)課的“框架”結(jié)構(gòu)要完整。這里特別強調(diào)的是一節(jié)課的最后一個環(huán)節(jié)，即課堂小結(jié)，教師要給以足夠地重視，在時間上要給以保證，讓學生思考，親自參與到課堂小結(jié)中去。
認知科學性是指教學過程要符合學生的認知規(guī)律，尤其是知識掌握規(guī)律。
主導性是指落實前面提到的教師的作用。
主體性是指讓學生親自參與到全部教學過程中去，積極主動地開展思維建構(gòu)活動。
交流性是指對一些重要內(nèi)容或在認識上容易產(chǎn)生差異的問題進行的小組交流、全班交流、師交流。
在什么問題上進行交流，教師在課前要有計劃，要在個人充分思考的基礎(chǔ)上進行。交流是一種強建構(gòu)活動，它是校正和不斷完善各自思維建構(gòu)的有效手段。值得注意的是：課堂討論要用得恰當，不需要討論的不要討論，不要走形式。
類化性是指對知識、技能和方法的系統(tǒng)化和概括化。類化的目的是發(fā)展能力，掌握數(shù)學思想方法。
中學數(shù)學課堂教學模式的設計，僅是中學數(shù)學教學設計的一部分，根據(jù)目前具體的教學設計存在的問題，提幾點建議：
?。?）數(shù)學目的要從三個方面進行考慮：a.知識點；b.技能和能力；c.辯證唯物主義觀點(如數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；數(shù)學中普遍存在的對立統(tǒng)一、運動變化、相互轉(zhuǎn)化等觀點)。
?。?）教學目的、重點、難點、教學方法的確定，要在編寫數(shù)學過程前進行，不要本末倒置。
?。?）教學方法要具體化。
目前，我國已有相當數(shù)量的教師推出了各種各樣的教學方法。常見的有講解法、談話法、討論法、實踐活動法、學生獨立探究法等。這些方法都有自己的長處和短處。具體到一節(jié)數(shù)學課采用何種教學方法，這要視教學內(nèi)容、學生特點以及教學設備而定，同時也受到教師本人多種因素的制約。
有的課，可以使用一種教學方法，但多數(shù)課的教學方法是由幾種教學方法進行有效組合而成的。本文提出的《中學數(shù)學課堂教學模式》就包含了幾種教學方法的組合。
在教案設計中，數(shù)學方法一項要寫的很具體。例如，有的習題課可采用學生獨立探究法和討論法。
?。?）教學過程要分清教師行為和學生行為。
教改實驗班的情況：
1．實驗班學生的主動參與意識增強了，學習的積極性大大提高了，逐步形成了良好的個性品質(zhì)。
由于實驗班的老師抓住了學生愿意展示自己的心理狀態(tài)，在學生的知識掌握過程中，大膽地讓學生親自參與到知識掌握的一系列過程中去，形成了“參與——興趣——參與”的良性循環(huán)。這是提高教學質(zhì)量的基礎(chǔ)，也是素質(zhì)教育的必要條件。在實驗班上，原來一些厭煩數(shù)學的學生變得樂學、愛學、會學、勤于思考和勇于探索。有些膽小的學生，現(xiàn)在膽子變大了，敢在全班向全體同學表述自己的見解，剖析自己在自己解題中所犯的錯誤，照這樣培養(yǎng)下去，提高學生素質(zhì)就能成為現(xiàn)實。例如，北京131中的李長龍老師，經(jīng)常利用復習課，給學生創(chuàng)造剖析自己提醒別人的機會，收到了很好地教學效果；又例如，北京146中的李香芝老師經(jīng)常鼓勵學生編題、講題也收到了很好地教學效果。
2．培養(yǎng)和發(fā)展了學生的交流意識和合作精神。
交流、合作是將來學生生存和發(fā)展不可缺少的本領(lǐng)。由于實驗班的老師經(jīng)常不斷地開展小組交流、全班交流、作業(yè)交流、師生交流和小組合作共同解決一個問題等等活動，這就為培養(yǎng)和發(fā)展學生的交流意識和合作精神建構(gòu)了一個良好的環(huán)境。環(huán)境能影響人，環(huán)境會造就人，這是素質(zhì)教育要達到的目的之一。
3．增強了學生用數(shù)學的意識。
數(shù)學來源于現(xiàn)實，必須扎根于現(xiàn)實。實驗班的老師充分挖掘了數(shù)學模型的現(xiàn)實背景，注意了從實際問題中總結(jié)數(shù)學原理，又用數(shù)學原理去解決現(xiàn)實問題，這必然增強學生用數(shù)學的意識，這也貫徹了理論聯(lián)系實際的數(shù)學原則。例如，北京62中的郭亞森老師經(jīng)常從實際問題導入新課，這不但調(diào)動了學生學習數(shù)學的積極性，而且培養(yǎng)了學生用數(shù)學的意識，數(shù)學效果是極為明顯的。
4．學生的各種能力得到了發(fā)展。
實驗班學生能力的普遍提高，產(chǎn)生于學生課內(nèi)外的數(shù)學活動過程，尤其是系統(tǒng)和概括過程。
實驗班的老師，嚴格遵守知識的掌握過程和堅持課堂小結(jié)、階段小結(jié)，并比較全面和正蓉落實了教師的主導作用和學生的主體地位，使數(shù)學課堂真正地“活”了起來，踏踏實實地培養(yǎng)和發(fā)展了學生的觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括以及表達等多種能力。
5．學生的成績得到了大面積提高。
這里僅舉兩例。
北京131中的李長龍老師進行了兩輪教改實驗。
第一輪某班：實驗前，數(shù)學及格率僅49.6%，平均分為61.4分，經(jīng)過一年多的實驗，及格率上升為94.6%，平均分為88分(指全區(qū)統(tǒng)考)。而且超區(qū)同類校平均分5分，及格率超過6個百分點。
第二輪某班：實驗前，區(qū)統(tǒng)考成績在全校排最后一名，經(jīng)過一年的建構(gòu)教學實驗，區(qū)統(tǒng)考成在全校排了第一名。
北京146中的李香芝老師曾接過全校成績最差的一個班，該班是由統(tǒng)考從未及格的學生組成的，經(jīng)過一年的教學改革實驗，竟有51%的同學在區(qū)統(tǒng)考中及格了。
1.3.4 中學數(shù)學課堂教學模式范例
(一)《造、設、變、歸》及分析
根據(jù)數(shù)學的特點和學生的數(shù)學學習規(guī)律以及認識建論，在一節(jié)課里，如果課題是新的基礎(chǔ)知識課，可以把其教學過程分為四個環(huán)節(jié)，即
造“景”感知，引導建構(gòu)(或發(fā)現(xiàn))；
設“樣”訓練，鞏固建構(gòu)；
變式導練，應用建構(gòu)；
歸納提煉，完善建構(gòu)。
這四個環(huán)節(jié)可簡記為《造、設、變、歸》。它可以做為基礎(chǔ)知識課教學的基本模式。
1.造“景”感知，引導發(fā)現(xiàn)。
這里所說的“景”，可以是一組有結(jié)果的題目(歸知識)，可以是一組圖形，可以是數(shù)學游戲，可以是數(shù)學故事，可以是教師的演示，可以是學生動手實踐，可以是日常生活問題或被學生所熟悉的生產(chǎn)問題，可以是當堂要講的新問題并伴以舊知識和舊方法，…。總之，這里的“景”要有助于新知識或新方法的建構(gòu)或發(fā)現(xiàn)。 在這一環(huán)節(jié)里，教師根據(jù)學生的學習需要把造設的與學生現(xiàn)有水平相適應的問題情境或者說“情景”(“美景”、“奇景”、“妙景”)展現(xiàn)給學生，使學生激發(fā)學習動機，產(chǎn)生積極性，運用已掌握的知識和經(jīng)驗，通過自己的觀察、和感知用比較、分析、綜合、抽象和概括、歸納、聯(lián)想、演繹等邏輯思維方法去建構(gòu)或發(fā)現(xiàn)新的知識或方法。 這一環(huán)節(jié)要達到的目的主要是領(lǐng)會新知識的產(chǎn)生過程，并從中培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力。通常所說的新課導入，知識形成就是指這一環(huán)節(jié)。這一環(huán)節(jié)的具體實施方法，可根據(jù)課堂內(nèi)容的不同而不同。這就是說，該環(huán)節(jié)的教學模式也是多種多樣的。
范例：
(1)概念的導入及形成的教學模式：
①在“平衡”中制造“不平衡”(制造“懸念”)，
在個人思考的基礎(chǔ)上組織交流，
在交流中教師引導，
在引導中實現(xiàn)“平衡”(新知識形成)
例如，無理方程中“增根”概念的導入。在學生學完用乘方有理化的方法解無理方程以后，可讓學生解下面兩個方程：
教師讓學生把方程的兩個根，分別代入原方程進行檢驗。
學生檢驗第1題時，會發(fā)現(xiàn)：x2=9是原方程的根，x1=6不是原方程的根，但解題過程并無差錯。
學生檢驗第2題時，會發(fā)現(xiàn)：x1=6是原方程的根，x2=9不是原方程的根，但解題過程也無差錯。
這時，學生自然產(chǎn)生認知上的“沖突”。這就制造了一個“不平衡”(即制造“懸念”)。教師要大膽地讓學生進行小組討論或全班討論，教師可適當引導，讓學生認真觀察原來這兩個方程的區(qū)別(第1個方程與第2個方程，僅是右邊的性質(zhì)符號不同)。在學生討論到一定程度上，教師最后進行概括得到“增根”的概念，并強調(diào)解無理方程時，必須驗根。這種導入方法比教師直接講解所得到的效果要好得多，學生的印象深刻，不易忘記。這是鍛煉學生思維深刻性的具體落實。
又例如，“負指數(shù)”概念的引入也可以運用這種導入模式。這就是說，學生可通過自己對
?、谡故救舾蓴?shù)學對象，引導學生認真觀察，學生自己找出共性，教師概括形成概念。
注：教師要引導學生在觀察中學會觀察，在觀察中培養(yǎng)觀察能力。
例如，平行四邊形、矩形、正方形、菱形等概念的形成，可以采用這種教學模式。 另外，某類概念可以從類比引入。例如，對于分式方程解法的教學(以“可化為一元一次方程的分式方程為例)，可運用類比聯(lián)想的方法。具體步驟如下：
a. 通過解下列方程復習解一元一次方程的步驟。
b.讓學生獨立解下列兩個分式方程(教師引導類比)。
①
c.當學生解①得到x=2和解②得到x=1時，引導學生分析比較整式方程和分式方程解法的區(qū)別和聯(lián)系。然后，引導學生檢驗。這時，學生會發(fā)現(xiàn)x=1不是方程②的根，在此基礎(chǔ)上，讓學生討論產(chǎn)生這種情況的原因，從而引出“增根”概念，強調(diào)解分式方程必須驗根和驗根的方法。 d.引導學生總結(jié)解分式方程的解題思想——化歸思想。
(2)定理的導入及形成的教學模式：
例如：
復習舊知識，提出新問題，
組織交流，鼓勵猜想，
引導論證，獲取知識。
例如，北京市回民學校的董慧老師，在講“一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系”定理時就采用上述的教學模式。
董慧老師首先讓學生解幾道一元二次方程的題，并讓學生思考一個問題：“這些方程的根與系數(shù)有何關(guān)系?”，在同學解完題和個人思考的基礎(chǔ)上，組織交流并鼓勵同學們大膽猜想一般一元二次方程
提出實驗問題，學生動手感知，
引導學生“發(fā)現(xiàn)”，推理形成知識，
滿足學生期待，解決實際問題。
例如，北京62中學的郭亞森老師在講“平行線性質(zhì)定理的導入和形成”課時，其過程大體如下：
?、僬故酒叫械牧杭芎托揆R履實際問題。
?、诎褜嶋H問題抽象數(shù)學問題：
?、郯l(fā)給每個學生一張紙。紙上印有：
?、茏寣W生用剪子剪下∠1，并和其它角比較。
?、輪枌W生發(fā)現(xiàn)了什么?
⑥引導論證。
注：有的實際問題直接包含著有關(guān)的數(shù)學關(guān)系，只要通過簡單的變換或過渡，就可以從實際問題轉(zhuǎn)化成相應的數(shù)學問題。有的實際問題，需要學生尋求與之有關(guān)的數(shù)學知識，并加以組合，建立數(shù)學模型，最后運用數(shù)學理論解決問題。
以上范例，對于知識的形成來說，其共同點是由具體到抽象。對于數(shù)學活動來說，其共同點是個人先對問題情境進行感知和思考，然后進行交流，在教師的之下，每個學生都在校正和完善自己的認識，最終建構(gòu)起新的知識結(jié)構(gòu)。
2.設“校”訓練，鞏固建構(gòu)。
在第一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，教師給出“樣”題(即例題)，這里的“樣題”要有典型性，示范性，要先易后難，先簡后繁?！皹宇}”可根據(jù)具體情況由教師精講或讓學生自己看。然后，教師再給出類似“樣題”的練習題，讓學生進行練習。這時教師可在班內(nèi)巡視，了解情況或回答學生提出的問題，及時獲取反饋信息，調(diào)節(jié)教學安排。如果有條件的話，“樣題”和練習題可充分利用現(xiàn)代化教學手段進行顯示以減少抄題的時間。練習題的答案要在這一環(huán)節(jié)即將完成時給出。(可用投影儀顯示)，并讓學生進行一下簡單小結(jié)，找出新知識的特點和注意事項。必要時，總結(jié)一下記憶方法。
這一環(huán)節(jié)的主要目的是通過模仿練習(一級模仿理論)，鞏固新知識，訓練基本技能，一定要在時間上給以充分保證。這就是說，該環(huán)節(jié)重在學生的動腦動手練習上。 有人說：“天下文章一大抄”，這句話雖不真實，但含有一定道理。人就是在模仿中長大的，在模仿中創(chuàng)新，在模仿中發(fā)展的，這是千真萬饒真理。
第二環(huán)節(jié)所體現(xiàn)的是由抽象到具體的認識過程。
3.變式導練，應用建構(gòu)。
這里所說的“變式”是指非規(guī)范問題。
第二環(huán)節(jié)學生練習的是基本題，規(guī)范題，在此基礎(chǔ)上，教師再給出一些非規(guī)范問題讓學生練習。這里特別指出的是：這些非規(guī)范問題一定要按著一點一點加難或加繁的順序給出。給出非規(guī)范問題后，教師的主導作用是引導學生運用化舊思想把非規(guī)范問題轉(zhuǎn)化成規(guī)范問題。這就是說，在這一環(huán)節(jié)里，教師所做的事是引導化歸或幫助學生塔橋或組織學生展開討論，問題的解決要由學生自己完成。 這一環(huán)節(jié)的主要目的是進一步鞏固和理解在第一環(huán)節(jié)所建構(gòu)起來的新知識，并通過對新知識的應用，逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學能力和掌握數(shù)學思想方法。如化歸思想中的特殊化思想，一般化思想(含函數(shù)思想)、分割與變形思想、數(shù)形結(jié)合思想、RMI原則等。為此，解完題后引導學生回顧和反思是非常必要的。
“變式導練，應用建構(gòu)”可用于習題課教學。
以上三個環(huán)節(jié)的安排，體現(xiàn)了具體——抽象——具體的認識過程。這也是數(shù)學教學的特點之一。
4.歸納提煉，完善建構(gòu)。
完成以上三個環(huán)節(jié)以后，要繼續(xù)進行第四個環(huán)節(jié)的活動。這不是一個可有可無的環(huán)節(jié)，這是當前數(shù)學課堂數(shù)學往往被忽視的一個重要環(huán)節(jié)——課堂小結(jié)。利用下課前的幾秒鐘，由教師重復一下黑板上的大小標題不能視為進行了課堂小結(jié)。真正的課堂小結(jié)要由學生的主動參與，在教師的引導下，由學生對本節(jié)課進行歸納、整理和提煉，以達到完善建構(gòu)使建構(gòu)系統(tǒng)化的目的。
這一環(huán)節(jié)盡管所用的時間較少(大約5分鐘)，但如能長期堅持，它會有利于學生系統(tǒng)掌握知識和能力的形成。要讓學生養(yǎng)成習慣，養(yǎng)成做完一件事就要進行總結(jié)的良好的個性品質(zhì)。這就是我們常說的一句話：“貴在堅持”。 如何進行課堂小結(jié)?
開始，可由教師提出要總結(jié)的問題，例如：
(1)新知識或新方法發(fā)生的大體過程是什么?
(2)新知識或新方法有何特點?
(3)非規(guī)范化問題是如何轉(zhuǎn)化成規(guī)范問題的?
(4)在使用某一概念或某一定理的時，要特別注意的是什么?
……
在學生學會了如何進行總結(jié)后，教師可不再提出提綱。但學生總結(jié)后，教師要給以補充和完善。 總之，通過課堂小結(jié)，要使學生對這一節(jié)課有一個整體認識，使知識成串成鏈系統(tǒng)化。這有助于學生對知識的記憶和能力的形成與發(fā)展。另外，通過小結(jié)要使學生學會提煉數(shù)學思想。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，提煉和掌握數(shù)學思想是學好數(shù)學的根本。
在這里順便提一個建議：教師在每次留作業(yè)時，可向?qū)W生倡導，做完作業(yè)后，寫出簡單小結(jié)。如能長期堅持，必會收到很好的效果。
《造、設、變、歸》教學模式操作說明：
?、佼斦n題為新的基礎(chǔ)知識時，一般講，該模式的四個環(huán)節(jié)既要完備而且有序。即先一后二再三最后四。每一環(huán)節(jié)的時間控制可根據(jù)學生的實際和課題的特點以及當時的具體情況靈活掌握。
?、诟鶕?jù)課題在教材中的地位和復雜程序，第三個環(huán)節(jié)的“變式導練”可在下一節(jié)課或下下節(jié)課繼續(xù)進行。
?、鄣谝画h(huán)節(jié)的造“景”可以在上一節(jié)課留成作業(yè)。
?、苷n堂小結(jié)必須給以足夠重視，千萬不要剪進行小結(jié)的時間。可以書面總結(jié)，可以全班交流。
根據(jù)上面對《造、設、變、歸》教學模式的分析，我們不難得到下面的結(jié)論：
知識形成在于“景”，
突出重點重在練，
解決難點要巧中探，
發(fā)展能力需提煉。
由此，我們可形成與《造、設、變、歸∪價的教學模式——《“景”、練、探、煉》。 《造、設、變、歸》教學模式的表面形式多是“兩頭活，中間靜”。所謂“兩頭活”是指在一節(jié)課的開頭和末尾，課堂上的交流氣氛相對活躍，“中間靜”是指在知識形成后的一段時間里，教師要讓學生安安靜地作題，對新形成的知識進行鞏固和應用。
(二)習題課教學模式
“習題課”，故名思意，應當以學生自己作習題為主，而且是以作變式題為主。上這種課需要掌握的基本原則是基本教學模式中的“變式導練，應用建構(gòu)”和“歸納提煉，完善建構(gòu)?！?/p>
提高習題課質(zhì)量的關(guān)鍵是精選習題和解題后的回顧與反思，即通過解題進一步鞏固學過的知識并發(fā)展能力(含數(shù)學思想方法)。
(三)復習課教學模式
教學進度中，某一單元結(jié)束后，期中測驗前，期末考試前，都要安排復習課。上好復習課是提高教學質(zhì)量，發(fā)展學生能力的重要環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)的教學復習課的教學模式，一般是由教師對所要復習的內(nèi)容進行系統(tǒng)歸納，更多的是讓學生作題。認識論指導下的數(shù)學復習課的教學模式應該把系統(tǒng)歸納的責任還給學生。
1.基本原則：
(學生)課前復習，課上交流，適當練習，重在類化。
設計數(shù)學復習課教學模式時，應注意以下問題：
(1)課前必須讓學生親自參與到復習中去——看書，自己查找學習中的漏洞，自己校正錯誤的思維建構(gòu)，并讓學生寫出歸納小結(jié)。
(2)課上組織交流，形式可以多樣化。如在小組內(nèi)交流，在全班組織同學間的經(jīng)驗交流或錯例分析交流，或宣讀小論文等。
(3)教師的主導作用：精心設計復習課的教學模式，組織交流，引導合作，培養(yǎng)學生的歸納綜合和概括能力，補充和完善同學們的思維建構(gòu)等等。
2.最終目的：
綜上所述，認識論指導下的教學模式應理解為“導學模式”，其最終目的是發(fā)展學生能力，提高素質(zhì)，讓學生學會學習。而學會的手段是科學的過程。具體到數(shù)學教學，就是要讓學生親自經(jīng)歷知識形式過程、鞏固和應用的過程以及知識、技能和方法的類化過程。沒有這些過程，學生是學不好數(shù)學的，更談不上學會學習。這里需要強調(diào)的是：絕不能用教師的分析講解去代替學生親自經(jīng)歷這些過程。這就是說，數(shù)學課堂教學模式設計的核心思想是學生自己的做和悟。說得再通俗一點就是：學生的數(shù)學是在教師的作用下，自己做會和悟會的。筆者的最后結(jié)論是：中學數(shù)學課堂教學的最佳教學法是“導、做、悟”，并以導、做、悟的有機平衡為最高標準(有機平衡分析略)。
