一、流體力學基礎(chǔ) 第一節(jié) 空氣在管道中流動的基本規(guī)律
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| 第一章 流體力學基礎(chǔ) 第一節(jié)空氣在管道中流動的基本規(guī)律
工程流體力學以流體為對象，主要研究流體機械運動的規(guī)律，并把這些規(guī)律應(yīng)用到有關(guān)實際工程中去。涉及流體的工程技術(shù)很多，如水力電力，船舶航運，流體輸送，糧食通風除塵與氣力輸送等，這些部門不僅流體種類各異，而且外界條件也有差異。
通風除塵與氣力輸送屬于流體輸送，它是以空氣作為工作介質(zhì)，通過空氣的流動將粉塵或粒狀物料輸送到指定地點。由于通風除塵與氣力輸送是借助空氣的運動來實現(xiàn)的，因此，掌握必要的工程流體力學基本知識，是我們研究通風除塵與氣力輸送原理和設(shè)計、計算通風除塵與氣力輸送系統(tǒng)的基礎(chǔ)。 本章中心內(nèi)容是敘述工程流體力學基本知識，主要是空氣的物理性質(zhì)及運動規(guī)律。 一、流體及其空氣的物理性質(zhì) (一) 流體 通風除塵與氣力輸送涉及的流體主要是空氣。 流體是液體和氣體的統(tǒng)稱，由液體分子和氣體分子組成，分子之間有一定距離。但在流體力學中，一般不考慮流體的微觀結(jié)構(gòu)而把它看成是連續(xù)的。這是因為流體力學主要研究流體的宏觀運動規(guī)律它把流體分成許多許多的分子集團，稱每個分子集團為質(zhì)點，而質(zhì)點在流體的內(nèi)部一個緊靠一個，它們之間沒有間隙，成為連續(xù)體。實際上質(zhì)點包含著大量分子，例如在體積為10-15厘米的水滴中包含著3×107個水分子，在體積為1毫米3的空氣中有2.7×1016個各種氣體的分子。質(zhì)點的宏觀運動被看作是全部分子運動的平均效果，忽略單個分子的個別性，按連續(xù)質(zhì)點的概念所得出的結(jié)論與試驗結(jié)果是很符合的。然而，也不是在所有情況下都可以把流體看成是連續(xù)的。高空中空氣分子間的平均距離達幾十厘米，這時空氣就不能再看成是連續(xù)體了。而我們在通風除塵與氣力輸送中所接觸到的流體均可視為連續(xù)體。所謂連續(xù)性的假設(shè)，首先意味著流體在宏觀上質(zhì)點是連續(xù)的，其次還意味著質(zhì)點的運動過程也是連續(xù)的。有了這個假設(shè)就可以用連續(xù)函數(shù)來進行流體及運動的研究，并使問題大為簡化。 （二）密度 流體第一個特性是具有質(zhì)量。流體單位體積所具有流體徹底質(zhì)量稱為密度，用符號ρ表示。
在均質(zhì)流體內(nèi)引用平均密度的概念，用符號ρ表示：
式中： M——流體的質(zhì)量[千克]； V——流體的體積[米3]； ρ——千克/米3。 但對于非均質(zhì)流體，則必需用點密度來描述。 所謂點密度是指當ΔV→0值的極限，即：
公式中，ΔV→0理解為體積縮小為一點，此點的體積可以忽略不計，同時，又必須明確，這點和分子尺寸相比必然是相當大的，它必定包括多個分子，而不至喪失流體的連續(xù)性。 壓強和溫度對不可壓縮流體密度的影響很小，可以把流體密度看成是常數(shù)。 （三）重度 流體的第二個特性是具有重量，這是第一個特性的結(jié)果。重度是流體單位體積內(nèi)所具有的流體重量，即：
式中： G——流體的重量[牛頓]； V——流體的體積[米3]； Υ——流體的重度[牛頓/米3]。 對于液體而言，重度隨溫度改變，而氣體而言，氣體的重度取決于溫度和壓強的改變。 顯然，密度與重度存在如下關(guān)系，G=M·g，等式兩邊除以V得：
Υ=ρg 式中： g——重力加速度，通常取9.81[米/秒2] （四）粘滯性 當我們把油和水倒在同一斜度的平面上，發(fā)現(xiàn)水的流動速度比油要快的多，這是因為油的粘滯性大于水的粘滯性。又如我們觀察河流，可以明顯地看到，越靠近河岸流速越小，越接近河心流速越高。這表明河岸對流體有約束作用，流體內(nèi)部也有相互約束的作用力。這種性質(zhì)就是流體的粘滯性。我們可以通過下面的試驗來證明流體粘滯性的存在。 假設(shè)有兩塊平行的木板，其間充滿流體，如圖，讓下面一塊平板固定而下面一塊平板以等速V運動，我們將會看到板間流體很快就處于流動狀態(tài)，且靠近上面平板的流體流速較大，而向下流速則較減小，其流速由上至下速度變化為從V到零。當中任一層流體的速度隨法線方向呈線性改變。
要使上面平板以等速運動，需在其上加一個力，使它大小恰好克服流體由于粘滯性而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力T，流體層間內(nèi)摩擦力是成對出現(xiàn)的，其方向據(jù)實際分析而定。實驗證明，內(nèi)摩擦力T的大小與流體種類有關(guān)；與流體的接觸面積有關(guān)；與垂直于板的速度梯度成正比，故：
式中： μ——流體動力粘性系數(shù)]； A——流體的接觸面積；
上式稱作牛頓內(nèi)摩擦定律。而通常把單位面積上所具有的摩擦力τ稱為摩擦應(yīng)力或切應(yīng)力：
式中： τ——摩擦應(yīng)力或切應(yīng)力。 上式表明切應(yīng)力的大小取決于速度梯度，也可以理解為取決于變形角速度的大小。如圖所示，設(shè)流體作直線運動，在某時刻t取一個正方形成一斜方形流體基元平面，令上層流速，經(jīng)過d t時間即為角變形速度，在短暫時間內(nèi)，則：
另外，從公式中還可以看出，切應(yīng)力的大小也取決于粘性系數(shù)。而動力粘性系數(shù)μ又隨不同流體及溫度和壓力而變化。通常粘性系數(shù)與壓力的關(guān)系不大，如每增加1千克/厘米2時，液體的粘性系數(shù)平均只增加1/500→1/300，因此在多數(shù)情況下可以忽略壓力對液體粘性系數(shù)的影響。對于氣體，由分子運動論得知： μ=（0.31~0.49）ρv L 式中： ρ——氣體密度； V—氣體分子運動速度； L—分子平均自由行程。 由于分子運動的速度V與壓力P無關(guān)，在等溫條件下，P與ρ成正比與L成反比，故壓力變化時μ仍可保持不變。 至于粘性系數(shù)與溫度的關(guān)系已被大量的實驗所證明。即液體的粘性系數(shù)隨溫度的增加而下降，氣體的粘性系數(shù)隨溫度而增加。這種截然相反的結(jié)果可用液體的微觀結(jié)構(gòu)去闡明。流體間摩擦的原因是分子間的內(nèi)聚力、分子和壁面的附著力及分子不規(guī)則的熱運動而引起的動量交換，使部分機械能變?yōu)闊崮堋＿@幾種原因?qū)σ后w與氣體的影響是不同的。因為液體分子間距增大，內(nèi)聚力顯著下降。而液體分子動量交換的增加又不足以補償，故其粘性系數(shù)下降。對于氣體則恰恰相反，其分子熱運動對粘滯性的影響居主導(dǎo)地位，當溫度增加時，分子熱運動更為頻繁，故氣體粘性系數(shù)隨溫度而增加。 另外，在我們研究流體運動規(guī)律的時候，ρ和μ經(jīng)常是以μ/ρ的形式相伴出現(xiàn)，這是為了實用方便，就把μ/ρ叫做運動粘性系數(shù)，用符號υ表示。 υ=μ/ρ[米2/秒] 必須指出：在分析流體流過固體的時候，或管中流體運動諸現(xiàn)象時運動粘性系數(shù)是非常重要的參數(shù)。但是當比較各種不同流體的內(nèi)摩擦力時，運動粘性系數(shù)卻不能作為一項物理特征。我們只要比較一下水與空氣的粘性系數(shù)即可明白這一點。水比空氣粘性大，動力粘性系數(shù)水的比空氣的大100倍，但是空氣的運動粘性系數(shù)卻比水的大10倍以上，所以不能以運動粘性系數(shù)來說明水比空氣粘性大，這是因為空氣的密度比水小幾百倍的緣故。 （五）溫度 溫度是標志流體冷熱程度的參數(shù)。就氣體而言，溫度和氣體分子平移運動的平均動能有關(guān)。在分子熱運動中，各個分子平移運動速度的方向和大小各不相同，而且在不斷地變化著。任一瞬間，有些分子運動速度較大，也有些分子運動速度較小，就大量分子的總體而言，則具有中等大小的速度，可以用一個平均速度來表示大量分子熱運動的狀況。溫度越高，分子熱運動越強盛，分子熱運動的平均速度則越大動能也就越大。 流體的溫度用測量溫度的儀表測定。為了標志溫度的高低和保證溫度測量的準確一致，就要規(guī)定一個衡量溫度高低的標準尺子，稱為溫度標尺，簡稱溫標。目前國際上通用的溫標主要有兩種。 攝氏溫標（t）——攝氏溫標規(guī)定：在1標準大氣壓下，純水開始結(jié)冰時的溫度（冰點）定為00C，純水沸騰時的溫度（沸點）定為1000C。在00C與此同時1000C之間劃為100等分。每一等分就是攝氏溫度的10C。 絕對溫標（T）——在絕對溫標中，把-273.150C作為零點，由此而測量出的溫度就是絕對溫度。用絕對溫標表示溫度時，在度數(shù)的右邊加上字母“K”。 絕對溫標的每1K與攝氏溫標每10C在數(shù)值上完全相等，1標準大氣壓下，純水的冰點為273.15K（工程上取273K已足夠準確），沸點為373.15K。 攝氏溫度和絕對溫度之間的換算關(guān)系為： T=273+t [K] （六）壓強 氣體或液體分子總是永遠不停地作無規(guī)則的熱運動。在管道中這種無規(guī)則的熱運動，使管道中的分子間不斷地相互碰撞，這就形成了對管道的撞擊力。雖然每個分子對管道壁的碰撞是不連續(xù)的，致使撞擊力也是不連續(xù)的，但是由于管道中有大量的分子，它們不停且非常密集地碰撞管壁，因此，從宏觀上就產(chǎn)生了一個持續(xù)的有一定大小的壓力。正如雨點落到傘面上，雖然每個雨點對傘面的作用力并不是連續(xù)的，但是，大量密集的雨點落到傘面上，就能感覺到雨點對傘面形成了一個持續(xù)的壓力。對管壁而言，作用在管壁上壓力的大小取決于單位時間內(nèi)受到分子撞擊的次數(shù)以及每次撞擊力量的大小。單位時間撞擊次數(shù)越多，每次撞擊的力量越大，作用于管壁的壓力也越大。 壓強的大小可用垂直作用于管管壁單位面積上的壓力來表示，即：
式中： P——壓強[牛頓]； F——垂直作用于管壁的合力[牛頓]； A——管壁的總面積。 壓強的單位通常有三種表示方法。 第一種，用單位面積的壓力表示。 在工程流體力學中，常以千克為力的單位,平方米作為面積的單位，于是壓強的單位為[千克/米2]，有時也用[千克/厘米2]作為壓強的單位。在國際單位制中壓強單位采用[帕]=牛頓/米2。其換算關(guān)系為： 1帕=1/9.81[千克/米2] 第二種，用液柱高度表示。
在測定管道中流體的壓強時，常采用里面裝有水或水銀的U型壓力計為測量儀器，以液柱高度表示壓強的大小。
設(shè)液柱作用于管底的壓力為液柱的重量，其大小為： F= Υ·h·A 式中： Υ——液體重度； h——液柱高度； A——受力面積。 壓強為：
例如，水的重度為100[千克/米3]，水銀的重度為13600[千克/米3]，試將P=1[千克/厘米3]換算成相應(yīng)的液柱高度。 用水銀柱（汞柱）高度表示： h=P/Υ=10000/13600=0.736[米水銀柱]=736[毫米水柱] 用水柱高度表示： h=P/Υ=10000/1000=1000[毫米水柱] 第三種，用大氣壓表示。 國際上，把海拔為零，空氣溫度為0°C，緯度為45°時測得的大氣壓強為1個物理大氣壓，它等于10336[千克/米2]。工程上為簡化起見，在不影響計算精度的前提下，取一個工程大氣壓為10000[千克/米2]。 工程中需要規(guī)定某一狀態(tài)的空氣為標準空氣。在我國把一個工程大氣壓，溫度為200C的空氣狀態(tài)規(guī)定為標準狀態(tài)。國際上把一個物理大氣壓，溫度為00C的狀態(tài)規(guī)定為標準狀態(tài)。標準狀態(tài)下的空氣稱為標準空氣。標準空氣的密度為ρ=1.2千克/米3 表示壓強的三種方法換算關(guān)系為： 1物理大氣壓=10336[千克/米2]=10336[毫米水柱]=760[毫米汞柱] 1工程大氣壓=10000[千克/米2]=10000[毫米水柱] =736[毫米汞柱] 為了滿足工程上的需要，壓強可按以下三種方法進行計算（如圖所示）。
絕對壓強——當計算壓強以完全真空（P=0）為基準算起，稱絕對壓強，其值為正。 相對壓強——當計算壓強以當?shù)卮髿鈮海?/span>Pa）為基準算起時，稱相對壓強或表壓。 1點的壓強高于當?shù)卮髿鈮海?/span>P1> Pa ），為正壓： PM1=P1-Pa 2點的壓強低于當?shù)卮髿鈮海?/span>P2<Pa），為負壓： PM2=P2-Pa 真空度——當絕對壓強低于大氣壓強時，其大于大氣壓的數(shù)值稱為真空度。以液柱高度表示為：
(七) 比容 比容是單位重量的流體占有的容積，它是定量流體容積大小的狀態(tài)參數(shù)。它與重度的關(guān)系為： Υ·υ=1 氣體的比容隨溫度和壓力變化。 (八) 理想氣體狀態(tài)方程 理想氣體指一種假想的氣體，它的質(zhì)點是不占有容積的質(zhì)點；分子之間沒有內(nèi)聚力。雖然自然界中不存在真正的理想氣體，但是為了研究流體的客觀規(guī)律，從復(fù)雜的現(xiàn)象中抓住主要環(huán)節(jié)而忽略某些枝節(jié)，在工程應(yīng)用所要求的精度內(nèi)，使問題合理化，不至于引起太大的誤差。就此意義來講，引出理想氣體的概念是十分重要的。 在研究通風除塵與氣力輸送時，完全可以引用理想氣體的定律。 空氣在壓力或溫度變化時能改變自身的體積，具有顯著的壓縮性和膨脹性，因此，當溫度或壓力變化時，氣體的密度也隨之變化。它們之間的關(guān)系，服從于理想氣體狀態(tài)方程。即： P·υ=R·T 或：P/p=R·T 式中： P——絕對壓力（牛頓/米2）； υ——比容（米2/牛頓）； T——熱力溫度（K—開爾文）； T=T0+t0C，T0=273K； R——氣體常數(shù)（牛·米/千克·開），對于空氣R=287牛·米/千克·開。 二、與空氣流動的有關(guān)概念 空氣是一種流體，其流動規(guī)律遵循流體力學的一般規(guī)律。在介紹反映流體流動規(guī)律的流體力學基本方程之前，先介紹一些有關(guān)的流動的基本概念。 充滿運動流體的空間稱為流場。用以表示流體運動特征的一切物理統(tǒng)稱為運動參數(shù)，如速度v、加速度a、密度p、壓力P和粘性力F等。 流體運動規(guī)律，就是在流場中流體的運動參數(shù)隨時間及空間位置的分布和連續(xù)變化的規(guī)律。 (一) 穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流 如果流場中各點上流體的運動參數(shù)不隨時間而變化，這種流動就稱為穩(wěn)定流。如果運動參數(shù)不隨時間而變化，這種流動就稱為非穩(wěn)定流。 對于穩(wěn)定流：
對于非穩(wěn)定流：
上述兩種流動可用流體經(jīng)過容器壁上的小孔泄流來說明（如圖）。
a b
圖a表明：容器內(nèi)有充水和溢流裝置來保持水位恒定，流體經(jīng)孔口的流速及壓力不隨時間變化而變化，流出的形狀為一不變的射流，這就是穩(wěn)定流。 圖b表明：由于沒有一定的裝置來保持容器中水位恒定，當孔口泄流時水位將漸漸下降。因此，其速度及壓力都將隨時間而變化，流出的形狀也將是隨時間不同而改變的流，這就是屬于非穩(wěn)定流 在通風除塵網(wǎng)路中，如果網(wǎng)路阻力不變，風機轉(zhuǎn)速不變，則空氣的流動可視為穩(wěn)定流動。在氣力輸送網(wǎng)路中，如果提升管的輸送量不變，管內(nèi)空氣流動也可以視為穩(wěn)定流動。 (二) 跡線與流線 ⒈跡線： 流場中流體質(zhì)點在一段時間內(nèi)運動的軌跡稱為跡線。 ⒉流線： 流場中某一瞬時的一條空間曲線，在該線上各點的流體質(zhì)點所具有的速度方向與該點的切線方向重合。 (三) 流管與流束 ⒈流管 流場中畫一條封閉的曲線。經(jīng)過曲線的每一點作流線由這些流線所圍成的管子稱為流管。 非穩(wěn)定流時流管形狀隨時間變化；穩(wěn)定流時流管不隨時間而變化。 由于流管的表面由流線所組成，根據(jù)流線的定義流體不能穿出或穿入流體的表面。這樣，流管就好像剛體管壁一樣，把流體運動局限于流管之內(nèi)或流管之外。故在穩(wěn)定流時，流管就像真實管子一樣。
⒉流束 充滿在流管中的運動流體（即流管內(nèi)流線的總體）稱為流束。斷面無限小的流束稱為微小流束。 ⒊總流 無數(shù)微小流束的總和稱為總流，如水管及風管中水流和氣流的總體。 (四) 有效斷面、流量與平均流速 ⒈有效斷面
有效斷面與微小流束或總流各流線相垂直的橫斷面，稱為有效斷面，用 ⒉流量 單位時間內(nèi)流體流經(jīng)有效斷面的流體量稱為流量。流量通常用流體的體積、質(zhì)量或重量來表示，相應(yīng)地稱為體積流量Q、質(zhì)量流量M和重量流量G來表示。它們之間的關(guān)系為： G=Υ·Q牛頓/秒 M=Υ/g·Q=ρ·Q千克/秒 Q=G/Υ=M/ρ米3/秒 對于微小流束，體積流量d Q應(yīng)等于流速u與其微小有效斷面面積d A之乘積，即： d Q=v·d A 對于總流而言，體積流量Q則是微小流束流量Q對總流有效斷面面積A的積分。
⒊平均流速V 由于流體有粘性，任一有效斷面上各點速度大小不等。由實驗可知，總流在有效斷面上速度分布呈曲線圖形，邊界處u為零，管軸處u為最大。設(shè)想有效斷面上以某一均勻速度V分布，同時其體積流量則等于以實際流速流過這個有效斷面的流體體積，即：
根據(jù)這一流量相等原則確定的均勻流速，就稱為斷面平均流速。工程上所指的管道中的平均流速，就是這個斷面上的平均流速V。平均流速就是指流量與有效斷面面積的比值。 [例題] 通風機的風量為2000米3/秒。若風管直徑d內(nèi)=200毫米。試計算流體的平均流速，并將體積流量換算成質(zhì)量流量忽然重量流量。 解：（1）計算平均流速
（2）計算重量流量：
（3）計算質(zhì)量流量
三、連續(xù)性方程 因為流體是連續(xù)的介質(zhì)，所以在研究流體流動時，同樣認為流體是連續(xù)地充滿它所占據(jù)的空間，這就是流體運動的連續(xù)性條件。因此，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對于空間固定的封閉曲面，非穩(wěn)定流時流入的流體質(zhì)量與流出的流體質(zhì)量之差，應(yīng)等于封閉曲面內(nèi)流體質(zhì)量的變化量。穩(wěn)定流時流入的流體質(zhì)量必然等于流出的流體的質(zhì)量，這結(jié)論以數(shù)學形式表達，就是連續(xù)性方程。 (一) 一元微小流束穩(wěn)定流的連續(xù)性方程 在總流A1及A2斷面上，取有效斷面為dA1及dA2，速度為u1及u2，密度為ρ1及ρ2的微小流束來討論。由于微小流束表面是由流線圍成的，故沒有流體的流進或流出，只有兩端dA1及dA2有流體的流入或流出。dt時間內(nèi)，由dA1流入的流體質(zhì)量為ρ1v1dAdt1，由dA2流出的流體質(zhì)量為ρ2v2dA2dt2。因此，在dt時間內(nèi)，實際流入此微小流束的質(zhì)量為： dM=ρ1v1dA1dt-ρ2v2dA2dt
穩(wěn)定流時，微小流束的形式和運動參數(shù)（密度）都不隨時間變化。并且流體是連續(xù)而無空隙的介質(zhì)，所以，在dt的時間內(nèi)微小流束dA1及dA2斷面部所包圍的流體質(zhì)量不隨時間變化而變化，根據(jù)質(zhì)量守恒定律可得： dM=0；則：ρ1v1dA1=ρ2v2dA2 這就是可壓縮流體沿微小流束穩(wěn)定流時的連續(xù)方程。若流體不可壓縮，則流體密度為一常數(shù)，即： ρ1=ρ2，則：v1dA1=v2dA2 這就是不可壓縮流體微小流束穩(wěn)定流時的連續(xù)性方程。 （二）一元總流穩(wěn)定連續(xù)性方程 將公式兩邊沿整個有效斷面A1及A2積分，就可得到可壓縮流體總流的連續(xù)性方程，即：
為了簡化處理，將上式中的ρ1及ρ2分別取為各自斷面的平均ρ1平均及ρ2均，則上式可寫成：
積分得：ρ1平均Q1=ρ2均Q2； 或：ρ1平均V1A1=ρ=均V2A2 式中： ρ1平均、ρ2平均——斷面A1和A2處流體平均密度； V1、V2——斷面A1和A2處流體平均流速； A1、A2——有效斷面1、2的斷面面積。 上式說明了可壓縮流體穩(wěn)定流時，沿流程的質(zhì)量流量保持不變，為一常數(shù)。 對不可壓縮流體，ρ為常數(shù)，則公式可簡化為： Q1=Q2 V1A1=V2A2 V1/V2=A2/A1 上式為不可壓縮流體穩(wěn)定流時總流的連續(xù)性方程。它說明一元總流在穩(wěn)定流時，沿流程體積流量為一常值，各有效斷面平均流速與有效斷面面積成反比，即斷面大處流速小，斷面小處流速大。這是不可壓縮流體運動的一個基本規(guī)律。所以，只要總流的流量已知，或任一斷面的平均流速和斷面積已知，其它各個斷面的平均流速即可用連續(xù)性方程計算出來。 [例題] 如圖所示的通風管道，d1=100毫米，d2=150毫米，d3=200毫米，（1）當風量為700米3時，求各管道的平均風速。（2）當風量增大到1000米3時，求平均流速如何變化。（
解： （1）根據(jù)連續(xù)性方程 V1A1=V2A2=V3A3=Q 所以：V1=
（2）各斷面流速比例保持不變，風量增大到期1000米3/時，即流量增大倍，則
四、空氣流動的能量方程（伯努利方程） 連續(xù)性方程表明，當空氣在管道內(nèi)作穩(wěn)態(tài)流動時，其速度將隨著截面積的變化而變化。通過實驗還可以觀察到，其靜壓力也將隨著截面積的變化而變化。例如，流體在水平錐形管道中作穩(wěn)態(tài)流動（見圖），截面1—1小于截面2—2?？諝庥尚〗孛?/span>1—1處進入錐形管。若用U形壓力計分別在1—1，2—2截面處測定靜壓力，則可觀察到1—1截面處的壓力小于2—2截面處壓力，即P1〈 P2，若考慮流動阻力會消耗能量，但這只能導(dǎo)致P2〈 P1，現(xiàn)在卻相反。這就啟發(fā)人們，只能從截面的變化上去分析原因。這個現(xiàn)象表明，截面大的地方流速小，壓力大，截面小的地方流速大，壓力小。但這一現(xiàn)象并不表明靜壓力與速度在數(shù)值上成反比關(guān)系，它只是反映了靜壓力與動壓力在能量上的相互轉(zhuǎn)換。為了得到這種能量轉(zhuǎn)換的定量關(guān)系，可作以下分析。 一根兩端處于不同高度的變徑管。理想流體（忽略粘性的流體）在管道內(nèi)作穩(wěn)態(tài)流動，管道中任取1—2流體段。在很短的時間內(nèi)，1—2流體運動到了1’—2’位置。由于在很短時間內(nèi)，流過的1—1’的距離很小，所以1到1’的流速U1、靜壓力P1、截面積A1和高度Z1的變化也很微小，可認為不變。同理，2—2 ’處的U2、P2、A2、Z2也可看作不變。
1—2流體段在向前流動的過程中，它所受到的外力有：截面1處后面流體向前的推力F1和截面2處前面流體的阻力F2。 由于：F1=P1A1；F2=P2A2 流體由1—2位置流動到1’—2’位置，在時間t內(nèi)F1和F2所作的功為： W=F1v1t—F2v2t=P1A1v1t-P2A2v2t 根據(jù)連續(xù)性方程： A1v1=A2v2=Q，所以：W=P1Qt-P2Qt 由于流量Q乘以時間t即為體積V，上式又可寫為： W=P1V-P2V 理想流體從1—2流到1’—2’時，在1’—2 ’段內(nèi)的流體情況沒有發(fā)生變化。因此，在這個流動過程中所發(fā)生的變化只是把1—1 ’這段流體移到了2—2’的位置。由于這兩段流體的速度和所處的高度不同。它們的動能和勢能也就不等。假設(shè)1—1’和2—2 ’處的總機械能分別為E1和E2，則： E1=1/2mv12+mgz1 E2=1/2mv22+mgz2 能量的增量： E=E2-E1=（1/2mv22+mgz2）-(1/2mv12+mgz1) 理想流體流動時沒有流動阻力，因而也沒有能量損耗，流體流動時能量的增量就等于外力所做的功W，即△E=W。所以： P1V-P2V=（1/2mv22+mgz2）-（1/2mv12+mgz1） 即 P1V+1/2mv12+mgz1=P2V+1/2mv22+mgz2 管道中截面A1，A2是可任意選取的，因此，對于任意一個截面均有： PV+1/2mv2+mgz=常數(shù) 式中：PV是體積為V的流體所具有的靜壓能。 上式是伯努利于1738年首先提出的，故稱伯努利方程。它是流體力學中重要的基本方程式，該方程式表明了一個重要的結(jié)論：理想流體在穩(wěn)態(tài)流動過程中，其動能、位能、靜壓力之和為一常數(shù)，也就是說三者之間只會相互轉(zhuǎn)換，而總能量保持不變。該方程通常稱為理想流體在穩(wěn)態(tài)流動時的能量守恒定律或能量方程。當空氣作為不可壓縮理想流體處理時，則也服從這個規(guī)律。由于空氣的ρ值都很小，位能項與其它二項相比則可忽略不計。因此，對于空氣的能量方程可寫成： PV+1/2mv2=常數(shù) 方程兩邊同時除以V，則得： P+1/2ρv2=常數(shù) 式中： P—空氣的靜壓力； 1/2ρv2—空氣的動壓力。 方程右邊的常數(shù)便代表了空氣流動時的全壓力。若以符號H全、H靜、H動表示，則有： H全=H靜+H動=常數(shù) 上式所表明的靜壓力和動壓力之間的關(guān)系與前述實驗結(jié)論完全相符。當空氣在沒有支管的管道中流動時，對于任意兩個截面，根據(jù)上式，以相對壓力表示的伯努利方程可寫成： H靜1+H動1=H靜2+H動2 應(yīng)用以上伯努利方程時，必須滿足以下條件： 不可壓縮理想流體在管道內(nèi)作穩(wěn)態(tài)流動； 流動系統(tǒng)中，在所討論的二個截面間沒有能量加入或輸出； 在列方程的兩截面間沿程流量不變，即沒有支管； 截面上速度均勻，流體處于均勻流段。在速度發(fā)生急變的截面上，不能應(yīng)用該方程。 以上所討論的伯努利方程，表明的是理想流體作穩(wěn)態(tài)流動時的規(guī)律，也即認為是沒有能量損耗的。但是實際上空氣是有粘性的，流動時將由于流體的內(nèi)摩擦作用而產(chǎn)生能量損失，若空氣由1—2段流動至1，—2 ，段時的能量損耗用H損1-2表示，根據(jù)能量守恒定律，則應(yīng)有： H靜1+H動1=H靜2+H動2+H損1-2 或： H全1=H全2+ H損1-2 這種能量損失表現(xiàn)為壓力的變化，也叫壓力損失。 由公式可得，風管內(nèi)任意兩截面間的壓力損失等于該兩截面處的全壓力之差，即： H損1-2=H全1－H全2 對于等截面的風管，由于管內(nèi)空氣的流速到處相等，即任意截面處的動壓力H動相等。根據(jù)公式，任意兩截面間的壓力損失則應(yīng)等于該兩截面處的靜壓力之差，即： H損1-2=H靜1－H靜2 若將U形壓力計的兩端分別與截面1、2處的測壓口相連，則U形壓力計中指示液的高度差就是空氣流過該段風管所產(chǎn)生的壓力差，即損失的能量。 當有外功加入系統(tǒng)時，例如在包括通風機在內(nèi)的通風管道的兩截面間列能量守恒方程，此時，應(yīng)將輸入的單位能量項H風機加在方程的左方： H靜1+H動1+H風機=H靜2+H動2+H損1-2 式中： H風機—通風機供給的能量； H損1-2—兩截面間的能量損失。 [例題] 風機的進風管直徑為100毫米。當風機運轉(zhuǎn)時，空氣通過進風管進入風機。在喇叭型進口處測得水柱上升高度h0=12毫米（如圖）?？諝庵囟?/span>=11.8牛/米3。如不考慮流動損失，求進入風機的風量。
解：取1—1及2—2斷面，列出兩斷面能量方程
以大氣壓力為基準，則式中P1=0，由于1-1斷面遠大于進風管斷面，可近似地取V1=0，P2=-12毫米水柱=-118牛/米2，V2=，因不計損失，則
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